Las bases y sus representaciones mediante componentes asociados permiten caracterizar tanto los elementos de cualquier espacio vectorial como las aplicaciones lineales definidas sobre el mismo, tomando la forma de vectores columna o fila, y de matrices.Esta propiedad facilita la sistematización de los cálculos asociados a estas aplicaciones.La idea de un vector descrito mediante sus componentes también se puede utilizar en espacios vectoriales de dimensión infinita, como se describe a continuación.existe una única combinación lineal de los vectores base que es igual a v: Las componentes del vector v relativas a B son una sucesión de coordenadas Este conjunto de coeficientes también se denomina "representación de v con respecto a B", o "representación respecto a B de v".Las α-s se denominan componentes de v (o también coordenadas de v cuando se requiere utilizar una notación geométrica).El orden de la base se vuelve importante aquí, puesto que determina el orden en el que se enumeran los coeficientes de las componentes del vector.Las componentes de un vector en espacios vectoriales de dimensión finita se pueden representar mediante matrices como vectores columna o fila.Este espacio es lineal y está representado por los siguientes polinomios: de los que se deduce la matriz identidad Entonces, las componentes correspondientes al polinomio son Según esa representación, el operador diferencial d/dx, denominado D, estará representado por la siguiente matriz: Usando ese método es fácil explorar las propiedades del operador, como su invertibilidad, carácter hermitico, anti-hermítico o ninguno, espectro, autovalores y autovectores, y otras características.a la matriz cuyas columnas consisten en la representación C de los vectores base b1, b2,…, bn: Esta matriz se conoce como la matriz de transformación de la base B a la base C. Puede considerarse como un automorfismo sobre V.Cualquier vector v representado en B se puede transformar en una representación en C de la siguiente manera: Si E es la base canónica, la notación se puede simplificar omitiéndola, con la transformación de B a E representada por: donde Bajo la transformación entre bases, se puede observar que el superíndice en la matriz de transformación, M, y el subíndice en el vector de coordenadas, v, son iguales y aparentemente se cancelan, dejando el subíndice restante.Si bien esto puede servir como una ayuda para memorizar la forma de operar estos elementos entre sí, es importante tener en cuenta que en realidad no se está llevando a cabo tal cancelación u operación matemática similar.En otras palabras, Supóngase que V es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre un campo F. Si la dimensión es κ, entonces existe alguna base formada por κ elementos de V.
En el caso del concepto geométrico clásico de vector, existe una identificación plena entre sus "componentes" y las "coordenadas" que lo representan. Sin embargo, existen otro tipos de espacios vectoriales (como por ejemplo, el conjunto de polinomios de orden n), en los que el concepto de "coordenada" carece de la generalidad de la idea de "componente"
