Elemento de línea
En geometría, un elemento de línea o elemento de longitud se puede considerar informalmente como un segmento de línea asociado con un desplazamiento infinitesimal en un espacio métrico.
La longitud del elemento de línea, que puede considerarse como una longitud de arco diferencial, es una función del tensor métrico y se denota por
Los elementos de línea se utilizan en física, especialmente en las teorías vinculadas a la gravedad (especialmente, en la relatividad general) en las que el espacio-tiempo se modela como una variedad pseudoriemanniana curva con un tensor métrico apropiado.
[1] La definición independiente del sistema de coordenadas del cuadrado del elemento lineal ds en una variedad pseudoriemanniana o riemaniana n-dimensiónal (en física, generalmente una variedad lorentziana) es el "cuadrado de la longitud" de un desplazamiento infinitesimal
[2] (en variedades pseudo riemannianas puede ser negativo) cuya raíz cuadrada debe usarse para calcular la longitud de la curva: donde g es el tensor métrico, · denota un espacio prehilbertiano y dq un desplazamiento infinitesimal en la variedad (pseudo) riemanniana.
[3] Para calcular una longitud sensible de curvas en variedades pseudo riemannianas, es mejor suponer que los desplazamientos infinitesimales tienen el mismo signo en todas partes.
) negativo y la raíz cuadrada negativa del cuadrado del elemento lineal en la curva mediría el tiempo propio que transcurre para un observador que se mueve sobre la curva.
es un "cuadrado de la longitud del arco" arbitrario,
define completamente la métrica y, por lo tanto, suele ser mejor considerar la expresión de
con la métrica es aún más fácil de ver en coordenadas curvilíneas q= (q1, q2, q3, ..., qn) por lo general de n dimensiones, donde se escribe como un tensor simétrico de rango 2[3][4] que coincide con el tensor métrico: Aquí, los índices i y j toman los valores 1, 2, 3, ..., n y se utiliza el convenio de suma de Einstein.
El elemento de línea más simple se expresa en coordenadas cartesianas, en cuyo caso la métrica es solo la delta de Kronecker: (aquí i, j = 1, 2, 3 para el espacio) o en forma matricial (i denota fila, j denota columna): Las coordenadas curvilíneas generales se reducen a coordenadas cartesianas: y entonces Para todas las coordenadas ortogonales, la métrica viene dada por:[3] donde para i = 1, 2, 3 son factores de escala, por lo que el cuadrado del elemento de línea es: A continuación se muestran algunos ejemplos de elementos de línea en estas coordenadas:[2] Dada una base arbitraria de un espacio de dimensión
y el producto interno están con respecto al espacio envolvente (generalmente, su
La base de coordenadas es un tipo especial de base que se utiliza habitualmente en geometría diferencial.
El espacio-tiempo de Minkowski tiene la expresión:[5][1] Cuando se elige un signo u otro, se utilizan ambas convenciones.
Esto se aplica solo para el espacio-tiempo de Minkowski.
Las coordenadas vienen dadas por el cuadrivector: y entonces, el elemento de línea es: En el sistema de Schwarzschild las coordenadas son
Entonces, el elemento de línea es: La definición independiente de las coordenadas del cuadrado del elemento lineal ds en el espacio-tiempo es:[1] En términos de coordenadas: donde para este caso los índices α y β se aplican sobre 0, 1, 2, 3 para el espacio-tiempo.
En la relatividad general es invariante bajo transformaciones de coordenadas diferenciables invertibles arbitrarias.
