Llamaremos a esta función r carta de la superficie.Un punto Q = (u0, v0) se llama regular si en él se cumple que los vectores tangentes en las direcciones u y v no son nulos ni paralelos, es decir, que son linealmente independientes o, equivalentemente que su producto vectorial es no nulo:) tenga rango máximo, es decir, sea igual a dos.Así se asegura la existencia del espacio tangente en cada punto de la superficie.se define como el único plano geométrico deUn vector se dice normal a una superficie en un punto si es perpendicular al plano tangente en dicho punto de la superficie.Podemos aprovechar esa propiedad para calcular el vector normal simplemente como el producto vectorial de los dos vectores linealmente independientes dados por la parametrización de la superficie.Si se conoce en cambio la ecuación de la superficie f(x, y, z) = 0 entonces el vector unitario normal se calcula simplemente como:La primera forma fundamental I es un tensor 2-covariante, simétrico y definido sobre el espacio tangente a cada punto de la superficie S. Esta primera forma fundamental de hecho es el tensor métrico inducido por la métrica euclídea sobre la superficie.Por razones históricas las componentes de la primera forma fundamental se designan por E, F y G:Estas pueden calcularse explícitamente a partir de la parametrización:Dada una curva C contenida totalmente en una superficie S sus ecuaciones paramétricas podrán expresarse mediante:Dada una región Ω contenida en una superficie se define su área como:Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces lo anterior se puede escribir sencillamente como:La segunda forma fundamental II de una superficie es la proyección sobre el vector normal a la superficie de la derivada covariante inducida por el tensor métrico o primera forma fundamental.Puede probarse, que esta segunda forma fundamental resulta ser un tensor 2-covariante y simétrico (es decir, da lugar a una forma bilineal definida sobre el espacio tangente a la superficie).Por razones históricas las componentes de la segunda forma fundamental se designan por L, M y N:la segunda forma fundamental se escribe también, resultando un tensor de rango dos, como la siguiente combinación lineal:En concreto la curvatura total (χγ) de una curva γ(t) puede ser descompuesta entre una componente tangencial a la superficie (y medible dentro de la misma), llamada curvatura geodésica (kg), y una componente perpendicular a la superficie (que depende de cómo está curvada la superficie en el espacio y cuál es la dirección de la curva dentro de la superficie), llamada curvatura normal (kn).Donde la curvatura geodésica y normal pueden calcularse a partir del ángulo que forman el vector normal a la superficie y el vector normal a la curva (nγ):Si además el punto se mueve sobre la superficie, la aceleración normal puede descomponerse en aceleración propiamente normal y aceleración geodésica (debida al seguimiento que el punto hace de la superficie):Esa ecuación muestra que las líneas geodésicas a la superficie son precisamente aquellas curvas para las cuales su curvatura total coincide con su curvatura normal.Las curvaturas normal y geodésica de una curva sobre una superficie pueden calcularse fácilmente a partir de los vectores tangente a la curva y las normales a la curva y la superficie:Para un punto no-umbilical P0 las direcciones tangentes a la superficie para las cuales se alcanza el máximo y el mínimo de la curvatura normal son siempre ortogonales.Una condición necesaria y suficiente para que la dirección dada por un vectorUna línea de curvatura es una curva regular conexa contenida en una superficie regular en la cual todos sus vectores tangentes generan una dirección principal en la superficie.(P0) que mide la curvatura intrínseca en cada punto regular P0 de una superficie.Un caso interesante de superficie es la esfera, que tiene la misma curvatura en todos sus puntos.son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la posición p. Con la derivada (jacobiano) del operador de formaEs relativamente fácil verificar que coincide con la definición dada arriba.
Las curvaturas principales en un punto de una superficie.
Parametrización de una superficie
Tres superficies con
curvatura gausiana
negativa (izquierda), cero (centro) y positiva (derecha).
