Multiplicar un vector normal por -1 da como resultado un vector opuesto, que puede usarse para indicar de qué lado se sitúa (por ejemplo, en el interior o en el exterior de una figura).El concepto se ha generalizado a las variedades diferenciables de dimensión arbitraria integradas en un espacio euclídeo.es el conjunto de vectores que son ortogonales al espacio tangente enEl pie de una normal en un punto buscado Q (análogo al pie de una perpendicular) se puede definir en el punto P de la superficie donde el vector normal contiene a Q.La distancia normal de un punto Q a una curva o a una superficie es la distancia euclídea entre Q y su pie P. La normal a una (hiper)superficie generalmente se escala para tener longitud unitaria, pero no tiene una dirección única, ya que su opuesto también es una vector normal unitario.Para una superficie que es la frontera topológica de un conjunto en tres dimensiones, se pueden distinguir entre dos orientaciones normales, la normal que apunta hacia adentro y la normal que apunta hacia afuera.Para una superficie orientada, la orientación de los vectores normales suele estar determinada por la regla de la mano derecha o su análogo en dimensiones superiores.Al aplicar una transformación geométrica a una superficie, suele ser útil deducir las normales de la superficie resultante a partir de las normales originales.Por lo tanto, se debe utilizar la matriz inversa transpuesta de la transformación lineal al transformar las normales de la superficie.son vectores linealmente independientes que pertenecen al hiperplano, una normal al hiperplano es cualquier vectorEs decir, cualquier vector ortogonal a todos los vectores que están en el plano es por definición una normal a la superficie.Alternativamente, si el hiperplano se define como el conjunto solución de una única ecuación linealUna variedad diferencial definida por ecuaciones implícitas en el espacio dimensionalSegún el teorema de la función implícita, la variedad se comporta como tal en el entorno de un punto donde la matriz jacobiana tiene rangoEn otras palabras, una variedad se define como la intersección dehipersuperficies, y el espacio vectorial normal en un punto es el espacio vectorial generado por los vectores normales de las hipersuperficies en el punto.de la variedad es el espacio afín que pasa porEstas definiciones pueden ampliarse literalmente a los puntos en los que la variedad deja de serlo.Por lo tanto, el espacio afín normal es el plano de ecuaciónla ecuación vectorial de una curva definida en el espacio tridimensional.Entonces, la dirección de la normal principal se puede obtener como el doble producto vectorial:tiene la forma: La ecuación del plano normal[1] en el puntotiene la siguiente forma: En geometría diferencial, las superficies que se examinan suelen estar sujetas a condiciones relacionadas con la posibilidad de utilizar métodos de cálculo diferencial.Estos requisitos se reducen al hecho de que las funciones que definen la superficie se suponen una, dos, tres veces y, en algunos casos, un número ilimitado de veces diferenciables o incluso que se trata de funciones analíticas.En este último caso, se impone una condición de regularidad adicional (véase el artículo superficie (topología)).Las coordenadas del vector unitario normal para diferentes métodos de definir una superficie se dan en la tabla siguiente: Las expresiones siguientes corresponden a las operaciones anteriores:La sección de una superficie por un plano que contiene la normal de la superficie en un punto dado forma una determinada curva, que se denomina sección normal de la superficie.de la curva está relacionada con la curvaturade una sección normal en un punto dado depende de la dirección de esta sección; si la curvatura no es constante, entonces el máximo y el mínimo se alcanzan en dos direcciones mutuamente perpendiculares, llamadas direcciones principales.[2] Se denomina rayo normal al que apunta perpendicularmente hacia afuera de la superficie de un medio óptico en un punto dado.
Un polígono y sus dos vectores normales
La normal a una superficie en un punto es lo mismo que una normal al plano tangente a la superficie en el mismo punto
Una superficie curva que muestra los vectores unitarios normales a la superficie (flechas azules)
