Teorema de Meusnier

En geometría diferencial, el teorema de Meusnier establece que en cualquier punto P de una curva inscrita en una superficie dada, su radio de curvatura es igual al radio de curvatura de la sección normal a la superficie que pasa por la tangente a la curva en P, dividido por el coseno del ángulo formado entre el plano de esta sección normal y el plano osculador de la curva:[1]​ siendo: De forma análoga, se puede expresar en función de los valores de las curvaturas (los inversos de los radios de curvatura): siendo: Además, las circunferencias osculatrices de todas las curvas que comparten la misma tangente a la superficie, forman una esfera.

El teorema fue enunciado por primera vez por Jean Baptiste Meusnier en 1776, pero no se publicó hasta 1785.

[3]​ Esta ortografía alternativa del nombre de Meusnier también aparece en Arco de Triunfo en París.

A continuación, se definen dos campos de vectores normales unitarios:

(el de la curva), que por lo general no son coincidentes.

Entonces, es posible relacionar la curvatura normal de la superficie

y la curvatura de la curva misma están ligadas por la relación: En este sentido, las curvaturas normales de la superficie son las curvaturas de las curvas cortadas por los planos normales a la superficie en un punto dado.

De una manera más sencilla, se puede enunciar como que el radio de curvatura de una sección plana oblicua cuya normal forma con la normal a la superficie un ángulo gamma, es igual al radio de curvatura de la sección normal que tiene la misma recta tangente, multiplicado por el coseno de gamma.