En cada punto p de una superficie diferenciable en un espacio euclídeo tridimensional se puede elegir un vector normal unitario.La curvatura se considera positiva si la curva gira en la misma dirección que la normal elegida para la superficie y, en caso contrario, se considera negativa.Las direcciones en el plano normal donde la curvatura toma sus valores máximo y mínimo son siempre perpendiculares, si k1 no es igual a k2, resultado obtenido por Euler (1760), y se llaman direcciones principales.Desde una perspectiva moderna, este teorema se deriva del teorema de descomposición espectral porque estas direcciones son como los ejes principales de un tensor simétrico: su segunda forma fundamental.Para una superficie minimal, la curvatura media es cero en cada punto.Sea M una superficie en el espacio euclídeo con la segunda forma fundamentalA continuación, se fija un punto p ∈ M, y un base ortonormal X1, X2 de vectores tangentes en p. Entonces, las curvaturas principales son los valores propios de la matriz simétrica: Si se seleccionan X1 y X2 de modo que la matrizsea una matriz diagonal, entonces se denominan direcciones principales.Sin hacer referencia a una base ortonormal particular, las curvaturas principales son los autovalores del operador de forma y las direcciones principales son sus autovectores.Si k1, ..., kn son las n curvaturas principales en un punto p ∈ M y X1, ..., Xn son los vectores propios ortonormales correspondientes (direcciones principales), entonces la curvatura seccional de M en p viene dada por para todos losPor ejemplo, en el caso de una superficie cilíndrica, al tocar físicamente o al observarla visualmente, se sabe que en una dirección específica la superficie es plana (paralela al eje del cilindro) y, por lo tanto, se puede fijar la orientación de la superficie.
Punto de ensilladura
con los planos normales en las direcciones de las curvaturas principales
Ejemplo de vectores de curvatura principales sobre un punto de un cilindro
