Punto umbilical

En la geometría diferencial de superficies en tres dimensiones, se define un punto umbilical en una superficie como aquel que es localmente esférico.En tales puntos, los marcos de Darboux en todas las direcciones son iguales, y por lo tanto, ambas curvaturas principales son iguales y cada vector tangente es una dirección principal.El término umbilical procede del latín "umbilicus" (ombligo).Los puntos umbilicales generalmente aparecen como puntos aislados en la región elíptica de la superficie; es decir, donde la curvatura de Gauss es positiva.La esfera es la única superficie con curvatura distinta de cero donde cada punto es umbilical.La conjetura de Carathéodory (propuesta por Constantin Carathéodory, todavía sin demostrar en 2010) afirma que toda esfera topológica suave en el espacio euclídeo tiene al menos dos puntos umbilicales.[1]​ Los tres tipos principales de puntos umbilicales son los puntos umbilicales elípticos, los parabólicos y los hiperbólicos.Otras configuraciones son posibles para casos de transición.Estos casos corresponden a las catástrofes elementales D4−, D5 y D4+ según la teoría de las catástrofes de René Thom.Los puntos umbilicales también se pueden caracterizar por el patrón de la dirección principal del campo vectorial definido a su alrededor, que normalmente forma una de tres configuraciones: estrella, limón y estrella-limón (o monstar en inglés).Los puntos umbilicales elípticos y parabólicos siempre tienen el patrón de estrella, mientras que los puntos umbilicales hiperbólicos pueden ser de estrella, limón o limón-estrella.Esta clasificación fue ideada por Darboux, mientras que los nombres fueron acuñados por John Hannay.[2]​ Para superficies con genus 0 con puntos umbilicales aislados, como por ejemplo un elipsoide, el índice del campo vectorial de dirección principal debe ser 2 según el teorema de Poincaré-Hopf.[3]​ La clasificación de los puntos umbilicales está estrechamente ligada a la clasificación de las formas cúbicas realesUna forma cúbica tendrá un número de líneas raíztal que la forma cúbica sea cero para todoHay una serie de posibilidades que incluyen: Las clases de equivalencia de tales cúbicas bajo escala uniforme forman un espacio proyectivo real tridimensional y el subconjunto de formas parabólicas definen una superficie, llamada brazalete umbilical por Christopher Zeeman.[4]​ Al tomar clases de equivalencia bajo la rotación del sistema de coordenadas se elimina un parámetro adicional y las formas cúbicas se pueden representar mediante la forma cúbica complejaPrescindiendo de la multiplicación por alguna constante, esta es la forma cúbicaUsando números complejos, el jacobiano es una forma cúbica parabólica cuandoSi bien las direcciones principales no están definidas únicamente en un punto umbilical, se pueden encontrar los límites de las direcciones principales cuando se sigue una cresta en la superficie y éstas corresponden a las líneas de raíz de la forma cúbica.[5]​ La clasificación de los puntos umbilicales es la siguiente:[5]​ En una familia genérica de superficies los puntos umbilicales pueden aparecer o desaparecer en parejas: la transición del nacimiento de los puntos umbilicales.El círculo exterior del diagrama, una forma cúbica en ángulo recto, muestra estos casos de transición.Un caso especial son los puntos umbilicales simbólicos.[5]​ Los puntos umbilicales elípticos y los hiperbólicos tienen superficie focal claramente diferentes.Una cresta en la superficie corresponde a aristas cuspidales, por lo que cada hoja de la superficie focal elíptica tendrá tres aristas cuspidales que se unen en el foco umbilical y luego cambian a la otra hoja.Para un punto umbilical hiperbólico existe una única arista cuspidal, que pasa de una hoja a la otra.[5]​ Un punto p en una subvariedad riemanniana es umbilical si, en p, su segunda forma fundamental (con valor vectorial) es algún tensor vectorial normal según la métrica inducida (la primera forma fundamental).es el vector de curvatura media en p. Se dice que una subvariedad es umbilical (o totalmente umbilical) si esta condición se cumple en todos los puntos p. Esto equivale a decir que la subvariedad puede volverse totalmente geodésica mediante un cambio conforme apropiado de la métrica de la variedad circundante ("ambiente").Por ejemplo, una superficie en el espacio euclídeo es umbilical si y solo si es parte de una esfera.