[9][10][11][12] La conjetura ha tenido una historia problemática, con pruebas publicadas en el caso analítico[13][14] que contenían lagunas,[15] y afirmaciones de prueba en el caso diferenciable general[16] que no han sido aceptadas para su publicación.
La conjetura afirma que cualquier superficie convexa, cerrada y suficientemente lisa en un espacio euclídeo tridimensional debe admitir al menos dos puntos umbilicales.
Para que la conjetura esté bien planteada o los puntos umbilicales estén bien definidos, la superficie debe ser al menos dos veces diferenciable.
Para las superficies analíticas, Hans Hamburger dio una respuesta afirmativa a esta conjetura en 1940 en un extenso artículo publicado en tres partes.
[19] A grandes rasgos, la principal dificultad radica en la resolución de las singularidades generadas por puntos umbilicales.
En particular, el problema del valor límite busca encontrar una curva holomórfica con un límite que se encuentre en la superficie lagrangiana de la cuádrica de Klein, determinado por las líneas normales a la superficie en el espacio tridimensional euclídeo.
Anteriormente se demostró que el número de puntos umbilicales aislados contenidos en la superficie en
[16] Todas las cantidades geométricas mencionadas se definen con respecto a la estructura canónica neutra de Kähler, para cuyas superficies puede ser tanto holomorfo como lagrangiano.
[26] Al abordar la conjetura global, la pregunta es "¿Qué tendría de especial una superficie convexa cerrada y lisa en
Guilfoyle y Klingenberg responden a esto:[28] el valor límite de Riemann-Hilbert asociado.
En 2012 se anunció la prueba de una versión más débil de la conjetura del índice local para superficies lisas, es decir, que un punto umbilical aislado debe tener un índice menor o igual a 3/2.
[31] La prueba sigue la de la conjetura global, pero también utiliza métodos más topológicos, en particular, reemplazando puntos umbilicales hiperbólicos por límites cruzados totalmente reales en el límite del problema de Riemann-Hilbert asociado.