Marco de Darboux
Lleva el nombre del matemático francés Jean Gaston Darboux.Sea S una superficie orientada en el espacio euclídeo tridimensional 'E3.
En cada punto p de una superficie orientada, se puede asociar un vector unitario normal u(p) de forma única, una vez que se haya elegido una orientación para la normal en cualquier punto fijo particular.
En ese caso, dado que las curvas principales están asociadas canónicamente a una superficie en todos los puntos que no son umbilicales, el marco de Darboux es un marco móvil canónico.
., fn), donde: Sea F(n) el conjunto de todos los marcos euclídeos.
Sea φ ∈ Euc(n) un elemento del grupo euclídeo que se descompone como: donde A es una transformación ortogonal y x0 es una traslación.
Entonces, en un marco se tiene que Geométricamente, el grupo afín mueve el origen de la forma habitual y actúa mediante una rotación sobre los vectores de base ortogonales, ya que estos están vinculados a la elección particular del origen.
En particular, está determinada únicamente por su parte triangular superior (ωji | i < j).
Bajo la acción del grupo euclídeo, estas formas se transforman de la siguiente manera: Sea φ la transformación euclídea que consiste en una traslación vi y una matriz de rotación (Aji).
[2] Ya se han considerado varios ejemplos de marcos adaptados.
Los marcos adaptados son útiles porque las formas invariantes (ωi,ωji) retroceden en φ, y las ecuaciones de estructura se conservan bajo este retroceso.
En consecuencia, el sistema de formas resultante proporciona información estructural sobre cómo se sitúa M dentro del espacio euclídeo.
Este paquete principal se integra en el paquete de marcos euclídeos F(n) por φ(v;fi) : = (φ(v);fi) ∈ F(n).
