El punto distinguido es simplemente un punto en particular, seleccionado del espacio y al que se le da un nombre, como
el cual permanece sin cambios durante la discusión posterior, y se realiza un seguimiento durante todas las operaciones.
Las funciones en los espacios puntados ( mapas basados ) son funciones continuos que conservan dicho puntos base, es decir, un mapa
es un mapa basado si es continuo con respecto a las topologías de
Esto generalmente se denota Los espacios puntados son importantes en la topología algebraica, particularmente en la teoría de homotopía, donde muchas construcciones, como el grupo fundamental, dependen de la elección del punto base.
Los espacios puntados a menudo se toman como un caso especial de la topología relativa, donde el subconjunto es un solo punto.
Por lo tanto, gran parte de la teoría de la homotopía generalmente se desarrolla en espacios puntados y luego se traslada a topologías relativas en topología algebraica .
La clase de todos los espacios puntados forma una categoría Arriba
con punto base preservando mapas continuos como morfismos .
es cualquier espacio de un punto y Top es la categoría de espacios topológicos .
(Esto también se llama una sobrecategoría denotada
arriba ) Los objetos en esta categoría son mapas continuos
Se puede pensar que tales mapas seleccionan un punto base en
Top ) son morfismos en Top para los que conmuta el siguiente diagrama: Como un espacio puntiagudo,
Además, existe un funtor olvido o subyacente Top