Geometría aritmética
Los puntos racionales pueden caracterizarse directamente por funciones de altura que miden su complejidad aritmética.Sobre cuerpos finitos, la cohomología etal provee invariantes topológicos asociados a variedades algebraicas.[6] La teoría de Hodge p-ádica proporciona herramientas para estudiar cuándo las propiedades cohomológicas de las variedades sobre los números complejos se extienden a las definidas sobre los cuerpos p-ádicos.[7] A principios del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss observó que existen soluciones enteras distintas de cero de ecuaciones polinómicas homogéneas con coeficientes racionales si existen soluciones racionales distintas de cero en general.[16] Entre 1956 y 1957, Yutaka Taniyama y Goro Shimura propusieron la conjetura de Taniyama-Shimura (conocida ahora como teorema de modularidad) que relacionaba curvas elípticas con formas modulares.
