Orden cíclico
[1] A diferencia de la mayoría de las estructuras en teoría del orden, un orden cíclico no se modela como una relación binaria habitual del tipo "a < b".
Descartar el requisito de "conectada" da como resultado un orden cíclico parcial.
[3] Algunos ciclos familiares son discretos y solo tienen un número finito de elementos: hay siete días de la semana, cuatro puntos cardinales, doce notas en la escala cromática musical y tres jugadas en piedra, papel o tijera.
También hay ciclos continuamente variables con infinitos elementos, como una circunferencia goniométrica orientada en un plano.
Estas operaciones, junto con las construcciones relacionadas de intervalos y mapas de cobertura, significan que las preguntas sobre órdenes cíclicos a menudo se pueden transformar en preguntas sobre órdenes lineales.
Un ciclo con n elementos es también un Zn-torsor: un conjunto con una acción transitiva libre sobre un grupo cíclico.
Puede ser instintivo usar órdenes cíclicos para la función simétrica, como por ejemplo en donde escribir el monomio final como xz distraería la atención del proceso.
Ejemplos importantes de ciclos infinitos incluyen la circunferencia goniométrica, S1 y los números racionales, Q.
La idea básica es la misma: se ordenan los elementos del conjunto alrededor de un círculo.
Tampoco se puede confiar en una relación binaria para determinar cuál de los dos puntos viene "primero".
Por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj, [este, sur, oeste].
La definición general es la siguiente: un orden cíclico sobre un conjunto X es una relación C ⊂ X3, escrita [a, b, c], que satisface los siguientes axiomas:[5] Los axiomas se nombran por analogía con los axiomas de asimetría, transitividad y conectividad para una relación binaria, que juntos definen un orden total.txt, consideró otras posibles listas de axiomas, incluida una lista que pretendía enfatizar la similitud entre un orden cíclico y una geometría ordenada.
Más generalmente, un subconjunto propio S de K se llama convexo si contiene un intervalo entre cada par de puntos: para a ≠ b ∈ S, (a, b) o (b, a) también deben estar en S.[13] Un conjunto convexo está ordenado linealmente por el corte Generalmente, una función inyectiva f de un conjunto desordenado X respecto a un ciclo Y induce un orden cíclico único en X que convierte a f en una función embebida. Hay muchas funciones posibles que inducen el mismo orden cíclico; de hecho, infinitas. Para cuantificar esta redundancia, se necesita un objeto combinatorio más complejo que un simple número. Formalmente, se define un orden lineal en el producto cartesiano Z × K, donde Z es el conjunto de los números enteros, fijando un elemento a y requiriendo eso para todos los i:[23][24] Por ejemplo, los meses enero 2025, mayo 2025, septiembre 2025 y enero 2026 se suceden en este orden. [27] Estas aplicaciones de cobertura se pueden caracterizar elevándolos al recubrimiento universal. [11] Dado un conjunto ordenado cíclicamente (K, [ ]) y un conjunto ordenado linealmente (L, <), el producto lexicográfico (total) es un orden cíclico en el conjunto producto K × L, definido por [(a, x), (b, y), (c, z)] si se cumple una de las siguientes condiciones:[28] El producto lexicográfico K × L globalmente se parece a K y localmente se parece a L; se puede considerar como K copias de L. Esta construcción se usa a veces para caracterizar grupos ordenados cíclicamente. [34] La topología de intervalo olvida la orientación original del orden cíclico. La generalización a un espacio parcialmente ordenado localmente se estudia en Roll (1993); véase también topología dirigida. Los grupos ordenados cíclicamente fueron estudiados en profundidad por primera vez por Ladislav Rieger en 1947. Una relación ternaria que es asimétrica bajo permutación cíclica y simétrica bajo inversión, junto con las versiones apropiadas de los axiomas de transitividad y totalidad, se denomina geometría ordenada. Se han realizado algunos experimentos para investigar las representaciones mentales de conjuntos ordenados cíclicamente, como los meses del año.
