Grupo de puntos racionales en la circunferencia unitaria

El conjunto de tales puntos[1]​ resulta estar estrechamente relacionado con las ternas pitagóricas primitivas.

Considérese un triángulo rectángulo primitivo, es decir, con lados enteros de longitud a, b, c, siendo c la hipotenusa, tal que los lados no tengan ningún factor común mayor que  1.

Entonces, en el círculo unitario existe el punto racional (a/c, b/c), que, en el plano complejo, es simplemente a/c + ib/c, donde i es la unidad imaginaria.

Por el contrario, si (x, y) es un punto racional en la circunferencia unitaria en el primer cuadrante del sistema de coordenadas (es decir, x > 0, y > 0), entonces existe un triángulo rectángulo primitivo con lados xc, yc, c, siendo c el mínimo común múltiplo de los denominadores de x e y.

El conjunto de puntos racionales en la círcunferencia unitaria, abreviado como G en este artículo, forma un grupo abeliano infinito con respecto a las rotaciones.

La operación de grupo, o "producto", es (x, y) * (t, u) = (xt − uy, xu + yt).

La operaciónde grupo se expresa más fácilmente con números complejos: identificando los puntos (x, y) y (t, u) con x' ' + iy y t + iu respectivamente, el producto del grupo anterior es solo la multiplicación ordinaria de números complejos (x +  ;iy)(t + iu) = xt − yu +  i(xu + yt), que corresponde al punto (xt − uy, xu' ' + yt) como arriba.

3/5 + 4/5i y 5/13 + 12/13i (que corresponden a dos de las ternas pitagóricas más conocidas: (3,4,5) y (5,12,13)) son puntos racionales en la circunferencia unitaria en el plano complejo y, por lo tanto, son elementos de G. Su producto de grupo es −33/65 + 56/65i, que corresponde al triplete pitagórico (33,56,65).

y del hecho de que sus puntos racionales coinciden.

Esto es: Dado que es la suma directa en lugar del producto directo, solo un número finito de valores en Gp son distintos de cero.

Viendo G como una suma directa infinita, considérese el elemento ({0}; 2, 0, 1, 0, 0, ..., 0, ...) donde la primera coordenada 0 está en C4 y las otras coordenadas dan las potencias de (a2 − b2)/p(r) +  ;i2ab/p(r), donde p(r) es el résimo número primo de forma 4k+1.

Entonces, esto corresponde, en G, al punto racional (3/5 + i4/5)2 · (8/17 + i' '15/17)1 = −416/425+ i87/425.

También cabe señalar, como conexión para ayudar a retener la comprensión, que el denominador 5 = p(1) es el 1er primo de la forma 4k + 1, y el denominador 17 = p(3) es el 3er primo de la forma 4k+1.

y la identidad del grupo es el mismo punto (1, 0) que en el caso anterior.

En este grupo se da una estrecha conexión con las funciones coseno huperbólico y seno hiperbólico, que es paralela a la conexión con coseno y seno en el grupo de la circunferencia unitaria anterior.

( a , b , c , d ) × ( w , x , y , z ) = ( a w − b x , a x + b w , c y + d z , c z + d y ) .

{\displaystyle (a,b,c,d)\times (w,x,y,z)=(aw-bx,ax+bw,cy+dz,cz+dy).}

y la identidad es nuevamente (1, 0, 1, 0) (por supuesto, dado que son subgrupos del grupo mayor, ambos deben tener el mismo elemento de identidad).