En matemáticas, específicamente en álgebra abstracta, un grupo ordenado linealmente (también denominado grupo totalmente ordenado) es un grupo G equipado con un orden total "≤", que es invariante a las traslaciones.
Se dice que (G, ≤) es un: Se dice que un grupo G es ordenable por la izquierda (u ordenable por la derecha, o bien biordenable) si existe un grupo por la izquierda (u orden invariante por la derecha o por ambos lados) en G. Una condición necesaria simple para que un grupo pueda ordenarse por la izquierda es no tener elementos de orden finito.
Es equivalente a que un grupo se pueda ordenar por la izquierda o por la derecha; sin embargo, existen grupos ordenables por la izquierda que no son biordenables.
Todo lo dicho se aplica a órdenes invariantes por la derecha con las modificaciones obvias.
sea invariante a la izquierda es equivalente al orden
En analogía con los números ordinarios, se denomina a un elemento
El conjunto de elementos positivos en un grupo ordenado se denomina cono positivo y a menudo se denota como
De hecho, por la invariancia hacia la izquierda se observa que
; la primera condición equivale a la invariancia por la izquierda y la segunda a que el orden esté bien definido y sea total.
es bi-invariante si y solo si es invariante de conjugación, es decir, si
Esto equivale a que el cono positivo sea estable bajo automorfismos internos.
Otto Hölder demostró que cada grupo arquimediano (un grupo biordenado que satisface el axioma de Arquímedes) es isomorfo respecto a un subgrupo del grupo aditivo de los números reales, (Fuchs y Salce, 2001, p. 61).
Para componer un grupo arquimediano linealmente ordenado multiplicativamente, se debe considerar la completación de Dedekind,
del cierre de un grupo linealmente ordenado bajo las raíces
Dotamos a este espacio con el topology habitual de orden lineal, y luego se puede demostrar que para cada
son isomorfismos grupo topológico que preservan/invierten el orden bien definidos.
Completar un grupo linealmente ordenado puede resultar difícil en el caso no arquimediano.
Los grupos libres se pueden ordenar por la izquierda.
[6] Los grupos de trenzas también se pueden ordenar por la izquierda.
está libre de torsión pero no se puede ordenar por la izquierda.
[8] Téngase en cuenta que es un grupo cristalográfico tridimensional (se puede realizar como el grupo generado por dos medias vueltas deslizadas con ejes ortogonales y la misma longitud de traslación), y es el mismo grupo que demostró ser un contraejemplo de la conjetura unitaria.
Los grupos ordenables por la izquierda también han suscitado interés desde la perspectiva de los sistemas dinámicos, ya que se sabe que un grupo numerable se puede ordenar por la izquierda si y solo si actúa en la recta real mediante homeomorfismos.
[11] Contraejemplos relacionados con este paradigma son los retículos en grupos de Lie de rango superior, y se sabe que (por ejemplo) los subgrupos de índice finito en
Se ha realizado una amplia generalización de este hecho.
[12][13] Un orden invariante por la izquierda está determinado por su cono positivo, o sea el conjunto de elementos mayores a la identidad del grupo.
Un grupo G es ordenable si y solo si existe un semigrupo P tal que
Con esta caracterización es fácil demostrar que un grupo admite un orden total invariante por la izquierda si y solo si admite un orden total invariante a derecha; esta es la razón por la que no exista una teoría de grupos ordenables a derecha.
Está demostrado que LO(G) es finito o no numerable[15] (o sea, no existe ningún grupo tal que admita exactamente una cantidad infinita numerable de órdenes totales invariantes por la izquierda).
[2] En LO(G) generalmente se define una topología, con sub base
Con esta topología LO(G) resulta un espacio compacto totalmente disconexo.