Un grupo de Arquímedes (G, +, ≤) es un grupo ordenado linealmente sujeto a la siguiente condición adicional, la propiedad de Arquímedes: para cada a y b en G que son mayores que 0, es posible encontrar un número natural n para el cual se cumple la desigualdad b ≤ na.
[3] Una definición equivalente es que un grupo de Arquímedes es un grupo ordenado linealmente sin ningún subgrupo cíclico acotado: no existe un subgrupo cíclico S y un elemento x con x mayor que todos los elementos en S.[4] Es sencillo ver que esto es equivalente a la otra definición: la propiedad de Arquímedes para un par de elementos a y b es simplemente la afirmación de que el subgrupo cíclico generado por a no está acotado por b.
Por el contrario, como demostró Otto Hölder, cada grupo de Arquímedes es isomorfo (como grupo ordenado) al subgrupo de los números reales.
También existen grupos ordenados no arquimedianos, como el grupo ordenado (G, +, ≤) definido de la siguiente manera, que no es de Arquímedes.
Sean los elementos de G los puntos del plano, dados por sus coordenadas cartesianas: pares (x, y) de números reales.
Entonces, este criterio genera un grupo ordenado, pero que no es de Arquímedes.
Los cuerpos ordenados no arquimedianos se pueden definir de manera similar, y sus grupos aditivos son grupos ordenados no arquimedianos, que se utilizan en análisis no estándar e incluyen a los números hiperreales y a los números surreales.
Si bien los grupos ordenados no arquimedianos no pueden ser embebidos en los números reales, pueden incluirse en una potencia de los números reales, con orden lexicográfico según el teorema de embebido de Hahn.
Sin embargo, existen grupos ordenados no arquimedianos con la misma propiedad.
El hecho de que los grupos de Arquímedes sean abelianos se puede generalizar: todo grupo ordenado con esta propiedad es abeliano.