Subdivisión baricéntrica
En matemáticas, la subdivisión baricéntrica es una forma estándar de subdividir un símplex determinado en otros más pequeños.
Su extensión a complejos simpliciales es un método canónico para refinarlos.
Por lo tanto, la subdivisión baricéntrica es una herramienta importante en topología algebraica.
En topología algebraica a veces es útil reemplazar los espacios originales por complejos simpliciales mediante triangulaciones: la sustitución permite asignar invariantes combinatorios como la característica de Euler a los espacios.
Se puede preguntar si existe una forma análoga de reemplazar las funciones continuas definidas en los espacios topológicos por funciones que sean lineales en los símplices y que sean homotópicas a las aplicaciones originales (véase también aproximación simplicial).
En general, tal asignación requiere un refinamiento del complejo dado, es decir, se reemplazan los símplices más grandes por una unión de símplices más pequeños.
Una forma estándar de efectuar tal refinamiento es la subdivisión baricéntrica.
Además, la subdivisión baricéntrica induce aplicaciones en grupos de homología y es útil para cuestiones computacionales (véase Escisión y Secuencia de Mayer-Vietoris).
La subdivisión baricéntrica de un símplex se puede definir inductivamente por su dimensión.
La subdivisión baricéntrica se define entonces como el complejo simplicial geométrico cuyos símplices máximos de dimensión
Se puede generalizar la subdivisión para complejos simpliciales cuyos símplices no están todos contenidos en un único símplex de dimensión máxima, es decir, complejos simpliciales que no corresponden geométricamente a un símplex.
Esto se puede hacer realizando los pasos descritos anteriormente simultáneamente para cada símplex de dimensión máxima.
El procedimiento permite efectuar la subdivisión más de una vez.
[4] En esta versión de subdivisión baricéntrica, no es necesario que el politopo forme un complejo simplicial: puede tener caras que no sean simples.
Las facetas de la subdivisión baricéntrica son símplices, correspondientes a las banderas del politopo original.
Por lo tanto, aplicando la subdivisión baricéntrica con suficiente frecuencia, la arista más grande puede hacerse tan pequeño como se desee.
[7] Para algunas declaraciones en teoría de la homología, se desea reemplazar los complejos simpliciales por una subdivisión.
De hecho, se puede demostrar que para cualquier subdivisión
Además, el mapa inducido es un isomorfismo: la subdivisión no cambia la homología del complejo.
[8] La subdivisión baricéntrica se puede aplicar a complejos simpliciales completos como en el teorema de aproximación simplicial o se puede utilizar para subdividir símplices geométricos.
definiéndola en cada símplex, donde siempre existe, porque los símplices son contráctiles.
El teorema de aproximación simplicial garantiza para cada función continua
El número de Lefschetz es una herramienta útil para determinar si una función continua admite puntos fijos.
Estos datos se calculan de la siguiente manera: supóngase que
son espacios topológicos que admiten triangulaciones finitas.
En la demostración, esto se comprueba primero solo para aplicaciones simpliciales y luego se generaliza para cualquier función continua mediante el teorema de aproximación.
[10] La secuencia de Mayer-Vietoris se utiliza a menudo para calcular grupos de homología singulares y da lugar a argumentos inductivos en topología.
La declaración relacionada se puede formular de la siguiente manera: Sea
Existe una secuencia exacta donde se consideran grupos de homología singulares,
[8] La escisión se puede utilizar para determinar grupos de homología relativa.
