Simetría octaédrica

La simetría octaédrica[1]​ (también denominada simetría octaedral o simetría del octaedro) es el conjunto de propiedades reflexivas de aquellas figuras del espacio tridimensional que poseen las 24 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y un orden de simetría de 48, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación, que son propias de un octaedro regular.

El cubo tiene el mismo conjunto de simetrías, ya que es el poliedro poliedro conjugado (también denominado dual) del octaedro.

El grupo de simetrías que conservan la orientación es S4, el grupo simétrico o el grupo de permutaciones de cuatro objetos, ya que existe exactamente una de esas simetrías para cada permutación de las cuatro diagonales del cubo.

Están entre los grupos de puntos cristalográficos del sistema cristalino cúbico.

, y una forma natural de identificar sus elementos es como pares

, es posible simplemente identificar los elementos del subgrupo tetraédrico Td como

Una rotorreflexión es una combinación de rotación y reflexión.

O, 432, o [4,3]+ de orden 24, son distintas notaciones usadas para denominar a la simetría octaédrica quiral o simetría octaédrica rotacional.

Este grupo es como la simetría tetraédrica T quiral, pero los ejes C2 ahora son ejes C4, y además hay 6 ejes C2, a través de los puntos medios de las aristas del cubo.

Td y O son isomorfos como grupos abstractos: ambos corresponden a S4, el grupo simétrico de 4 objetos.

Td es la unión de T y el conjunto obtenido al combinar cada elemento de O \ T con inversión.

O es el grupo de rotación del cubo y del octaedro regular.

Oh, *432, [4,3], o m3m de orden 48, son formas utilizadas para denominar la simetría octaédrica aquiral o simetría octaédrica completa.

Este grupo es isomorfo a S4.C2, y es el grupo de simetría completa compartido por el cubo y el octaedro.

Con los ejes cuádruples como ejes de coordenadas, un dominio fundamental de Oh viene dado por 0 ≤ x ≤ y ≤ z. Un objeto con esta simetría se caracteriza por la parte del objeto en el dominio fundamental, por ejemplo el cubo viene dado por z = 1, y el octaedro por x + y + z = 1 (o las desigualdades correspondientes, para obtener el sólido en lugar de la superficie).

ax + by + cz = 1 da un poliedro con 48 caras, el disdiaquis dodecaedro.

Las caras son 8 por 8 combinadas con caras más grandes para a = b = 0 (cubo) y 6 por 6 para a = b = c (octaedro).

Las 9 líneas especulares de simetría octaédrica completa se pueden dividir en dos subgrupos de 3 y 6 (dibujados en púrpura y rojo), que se traducen en dos subsimetrías ortogonales: D2h y Td.

La simetría D2h se puede duplicar a D4h restaurando 2 planos de simetría especular desde una de las tres orientaciones.

combinaciones de signos para un total de 48 matrices, obteniéndose el grupo octaédrico completo.

Las otras 24 matrices tienen un determinante de −1 y corresponden a una reflexión o inversión.

El producto de las reflexiones produce 3 generadores rotacionales.

El cubo tiene 48 isometrías (elementos de simetría), formando el grupo de simetría Oh, isomorfo al grupo S4 × Z2.

Se pueden clasificar de la siguiente manera: Una isometría del cubo se puede identificar de varias maneras: Para cubos con colores o marcas (como las que tienen los dados), el grupo de simetría es un subgrupo de Oh.

Ejemplos: Para algunos subgrupos más grandes, un cubo con ese grupo como grupo de simetría no es posible con solo colorear caras enteras.

Se tiene que dibujar algún patrón en las caras.

Ejemplos: La simetría completa del cubo, Oh, [4,3], (*432), se conserva si y solo si todas las caras tienen el mismo patrón de manera que se conserva la simetría completa del cuadrado, con una simetría para el grupo cuadrado, Dih4, [4], de orden 8.

La simetría completa del cubo bajo rotaciones propias, O, [4,3]+, (432), se conserva si y solo si todas las caras tienen el mismo patrón con simetría rotacional cuádruple, Z4, [4]+.

Su grupo de automorfismos incluye la involución hiperelíptica que voltea las dos hojas del recubrimiento.

El cociente por el subgrupo de orden 2 generado por la involución hiperelíptica da precisamente el grupo de simetrías del octaedro.