Grupo cuaterniónico

Está dado por la presentación de grupo donde e es el elemento identidad y e conmuta con los demás elementos del grupo.Estas relaciones, descubiertas por William Rowan Hamilton, también generan los cuaterniones como un álgebra sobre los números reales.[1]​ El grupo cuaterniónico 8X tiene el mismo orden que el grupo diédrico D4, pero una estructura diferente, como lo muestran sus grafos cíclico y de Cayley: En los diagramas de D4, los elementos del grupo están marcados con su acción sobre una letra F en su representación definitoria respecto a 'R2.Otra presentación de 8X[3]​ basada en solo dos elementos para saltarse esta redundancia es: Por ejemplo, al escribir los elementos del grupo en formas normales mínimas lexicográficamente, se puede identificar: El grupo cuaterniónico tiene la propiedad inusual de ser hamiltoniano: 8X no es abeliano, pero cada subgrupo es normal.que es isomorfo al grupo de Klein V.Representaciones de signos con i, j, k-núcleo: 8X tiene tres subgrupos normales máximos: los subgrupos cíclicos generados por i, j y k respectivamente.Para cada subgrupo normal máximo N, se obtiene una representación unidimensional factorizando a través del grupo cociente G/N de 2 elementos.No es realizable sobre los números reales, dado que se trata de una representación compleja: de hecho, son solo los cuaternionescorresponden a los irreducibles: de modo que Cada uno de estos ideales irreducibles es isomorfo a un álgebra simple central real, los primeros cuatro al cuerpo realtiene un núcleo ideal generado por el idempotente: por lo que los cuaterniones también se pueden obtener como el anillo cocienteTéngase en cuenta que esto es irreducible como una representación real deLa representación del complejo irreducible bidimensional descrito anteriormente da el grupo cuaterniónico 8X como un subgrupo del grupo lineal generalpor multiplicación por la izquierda sobre sí mismo considerado como un espacio vectorial complejo con baseLa representación resultante que viene dada por: Dado que todas las matrices anteriores tienen determinante unitario, esta es una representación de 8X en el grupo lineal especial[6]​ Una variante da una representación por matrices unitarias (tabla de la derecha).sea coherente con las matrices de Pauli habituales: Esta elección particular es conveniente y elegante cuando se describen estados de espín -1/2 en la basey se considera operadores en escalera del momento angularTambién hay una importante acción de 8X en el espacio vectorial bidimensional sobre elcuerpo finitoviene dada por Esta representación se puede obtener de la extensión del cuerpo: dondeadmite una aplicación lineal: Además se tiene el automorfismo de FrobeniusDe hecho, generan el grupo de automorfismo completo como: que es isomorfo al grupo simétrico S4, ya que las asignaciones lineales, es decir, los cuatro puntos del espacio proyectivoal intentar relacionar el grupo cuaterniónico con la teoría de Galois.[1]​ Un grupo cuaterniónico generalizado 4nX de orden 4n está definido por la presentación[3]​ para un número entero n ≥ 2, con el grupo cuaterniónico habitual dado por n = 2.El grupo cuaterniónico generalizado se puede realizar como el subgrupo deLos grupos cuaterniónicos generalizados tienen la propiedad de que cada subgrupo abeliano es cíclico.[11]​ Se puede demostrar que un p-grupo finito con esta propiedad (cada subgrupo abeliano es cíclico) es cíclico o un grupo cuaterniónico generalizado como se definió anteriormente.[12]​ Otra caracterización es que un p-grupo finito en el que hay un subgrupo único de orden p es cíclico o un grupo cuaterniónico isomorfo a uno generalizado de 2 grupos.Suponiendo que pr sea el tamaño de F, donde p es primo, el tamaño del subgrupo 2-Sylow de SL2(F) es 2n, donde n= ord2(p2 − 1) + ord2(r).El teorema de Brauer-Suzuki muestra que los grupos cuyos subgrupos 2-Sylow son cuaterniones generalizados no pueden ser simples.