Cuaternión dividido

En álgebra abstracta, los cuaterniones divididos o cocuaterniones son una estructura algebraica introducida en 1849 con este último nombre por el abogado y matemático británico James Cockle (1819-1895).Forman un álgebra asociativa de dimensión cuatro sobre los números reales.Los cuaterniones divididos son las combinaciones lineales (con coeficientes reales) de cuatro elementos básicos 1, i, j, k que satisfacen las siguientes reglas del producto: Por la propiedad asociativa, estas relaciones implican que y también ijk= 1.Entonces, los cuaterniones divididos forman un espacio vectorial de dimensión cuatro con {1, i, j, k} como base.También forman un anillo no conmutativo, al extender las reglas del producto anteriores mediante distributividad a todos los cuaterniones divididos.Al igual que los cuaterniones introducidos por Hamilton en 1843, forman un álgebra asociativa real de dimensión cuatro.Este isomorfismo permite identificar cada cuaternión dividido con una matriz de 2×2.El producto de un cuaternión dividido con su conjugado es la forma cuadrática isotrópica: que se llama norma del cuaternión dividido o determinante de la matriz asociada.La parte real de un cuaternión dividido q= w + xi + yj + zk es w= (q∗ + q)/2.Esta propiedad significa que los cuaterniones divididos forman un álgebra de composición.Un cuaternión dividido con una norma distinta de cero tiene un inverso multiplicativo, es decir, q∗/N(q).Para los cuaterniones divididos, existen hiperboloides de unidades hiperbólicas e imaginarias que generan planos complejos ordinarios o complejos divididos, como se describe a continuación en § Estratificación.Esta representación puede definirse mediante álgebra homomorfa que asigna un cuaternión dividido w + xi + yj + zk a la matriz Aquí, i (con letra cursiva) es la unidad imaginaria, que no debe confundirse con el elemento base del cuaternión dividido i (con letra redonda).Sea S la matriz Entonces, aplicado a la representación de los cuaterniones divididos como matrices reales de orden 2×2, el homomorfismo del álgebra anterior es la semejanza matricial Se deduce casi inmediatamente que para un cuaternión dividido representado como una matriz compleja, el conjugado es la matriz de los cofactores y la norma es el determinante.La regla de la multiplicación se utiliza al producir el producto duplicado en los casos divididos reales.entonces En esta sección, se estudian y clasifican las subálgebras reales generadas por un único cuaternión dividido.Sea p = w + xi + yj + zk un cuaternión dividido.Su dimensión es dos, excepto si p es real (en este caso, la subálgebra es simplementeEs necesario considerar tres casos, que se detallan en las siguientes subsecciones.Por lo tanto, existen números reales n, t, u tales que 0 ≤ t < 2Π y Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte no real tiene una norma positiva.Una subálgebra generada por un cuaternión dividido con una parte irreal de norma positiva contiene exactamente dos puntos opuestos en este hiperboloide, uno en cada hoja, y el hiperboloide no contiene ningún otro punto.El álgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma positiva es isomorfa aPor lo tanto, existen números reales n, t, u tales que 0 ≤ t < 2Π y Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte no real tiene una norma negativa.Una subálgebra generada por un cuaternión dividido con una parte irreal de norma negativa contiene exactamente dos puntos opuestos en este hiperboloide, y el hiperboloide no contiene ningún otro punto.El álgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma negativa es isomorfa aEstas superficies son asintóticas por pares y no se cruzan.Su complemento consta de seis regiones conectadas: Esta estratificación se puede refinar considerando cuaterniones divididos de una norma fija: para cada número real n ≠ 0, los cuaterniones divididos puramente no reales de norma n forman un hiperboloide.Se han aplicado cuaterniones divididos al balance de blancos.Los cocuaterniones fueron introducidos inicialmente (bajo ese nombre)[4]​ en 1849 por James Cockle en el Philosophical Magazine de Londres, Edimburgo y Dublín.La estructura de los cuaterniones divididos también se ha mencionado brevemente en los Annals of Mathematics.