Octonión dividido
En matemáticas, los octoniones divididos son un álgebra no asociativa de 8 dimensiones sobre los números reales.
Excluyendo otros elementos algebraicos isomorfos, los octoniones ordinarios y los octoniones divididos son las únicas dos álgebras de composición de 8 dimensiones sobre los números reales.
También son las dos únicas álgebras octoniónicas sobre los números reales.
Para ello, se introduce una nueva unidad imaginaria ℓ y se expresa un par de cuaterniones (a, b) en la forma a + ℓb.
El producto está definido por las reglas siguientes:[1] donde Si se elige λ para que sea −1, se obtienen los octoniones.
Una base de los octoniones divididos viene dada por el conjunto
se puede escribir como una combinación lineal de los elementos básicos, con coeficientes reales
Las flechas rojas indican posibles inversiones de dirección impuestas al negar el cuadrante inferior derecho del elemento padre, creando un octonión dividido con esta tabla de multiplicar.
Con N, los octoniones divididos forman un espacio pseudoeuclídeo de ocho dimensiones sobre R', a veces escrito como R4,4 para indicar la signatura de la forma cuadrática.
Si N(x) ≠ 0, entonces x tiene un inverso multiplicativo (de dos lados) x−1 dado por Los octoniones divididos, al igual que los octoniones, no son conmutativos ni asociativos.
Es decir, Los octoniones divididos satisfacen las identidades de Moufang, formando un álgebra alternativa.
Por lo tanto, según el teorema de Artin, la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera es asociativa.
El conjunto de todos los elementos invertibles (es decir, aquellos elementos para los cuales N(x) ≠ 0) forman un bucle de Moufang.
Dado que los octoniones divididos no son asociativos, no pueden representarse mediante matrices ordinarias (la multiplicación de matrices siempre es asociativa).
Se define la multiplicación de estas matrices por la regla: donde · y × son el producto escalar y producto vectorial ordinarios de 3 vectores.
El isomorfismo de los octoniones divididos al álgebra de Zorn viene dado por Este isomorfismo preserva la norma desde
Los octonones divididos se utilizan en la descripción de las leyes físicas.
