En matemáticas, la forma real a objetos definidos sobre el cuerpo de los números reales en relación con objetos similares definidos sobre los números complejos.
: La noción de forma real también se puede definir para grupos de Lie complejos.
Es un hecho básico en la teoría álgebras de Lie semisimples es que cada álgebra de este tipo admite dos formas reales especiales: una es la "forma real compacta" y corresponde a un grupo de Lie compacto bajo la correspondencia de Lie (su diagrama de Satake tiene todos los vértices ennegrecidos), y el otro es la "forma real dividida" y corresponde a un grupo de Lie que está lo más lejos posible de ser compacto (su diagrama de Satake tiene sin vértices ennegrecidos y sin flechas).
En el caso del complejo grupo lineal especial SL(n,C), la forma real compacta es el grupo unitario especial SU(n) y la forma real dividida es el grupo lineal especial real SL(n,R).
En general, puede haber más de dos formas reales.
Según el criterio de Cartan, la forma de matar no es degenerada, y puede diagonalizarse en una base adecuada con las entradas diagonales +1 o −1.
Este es un número entre 0 y la dimensión de
que es un invariante importante del álgebra de Lie real, llamada su índice.
Élie Cartan demostró que cada álgebra de Lie semisimple compleja g tiene una forma real dividida, que es única hasta el isomorfismo.
[1] Tiene índice máximo entre todas las formas reales.
La forma dividida corresponde al diagrama de Satake sin vértices ennegrecidos y sin flechas.
Para el álgebra de Lie clásica hay una construcción más explícita.
se descompone en la suma directa de su parte simétrica asimétrica k0 y su parte simétrica p0, esta es la Descomposición de Cartan: La complejización
se descompone en la suma directa de
que está cerrada bajo los conmutadores y consiste en matrices sesgadas-hermitianas.
, que su forma de Killing es definición negativa (lo que la convierte en un álgebra de Lie compacta), y que la complejización de u'0 es