Para avanzar sobre estos problemas, los físicos desarrollaron la Mecánica Cuántica supersimétrica, una aplicación de álgebra supersimétrica (SUSY) a la Mecánica Cuántica en contraposición a la teoría cuántica de campos.
Se esperaba que estudiar las consecuencias de SUSY en esta configuración más simple, llevaría a nueva comprensión; notablemente, el esfuerzo creó en sí mismo, nuevas áreas de investigación en Mecánica Cuántica .
Usando las ideas extraídas de SUSY, el resultado final se puede derivar con mucha mayor facilidad, en la mayor parte, de la misma manera que los métodos de operador que se utilizan para resolver el oscilador armónico.
[1] Curiosamente, este enfoque es análogo a la forma en la que Erwin Schrödinger resolvió por primera vez el átomo de hidrógeno.
[2] Por supuesto, él no llamó a su solución supersimétrica, pues SUSY aparecería treinta años en el futuro, pero todavía es notable que el enfoque de SUSY, tanto mayor y más elegante, se enseñe a tan pocos en las universidades.
La Mecánica Cuántica SUSY, consiste en pares de Hamiltonianos que comparten una relación particular matemática, que son llamados Hamiltonianos pareja.
Cada bosón podría tener un compañero fermiónico de igual energía, pero, en el mundo relativista, la energía y la masa son intercambiables, así que podemos decir con la misma facilidad que las partículas asociadas tienen la misma masa.
Los conceptos en SUSY, han proporcionado útiles extensiones para la aproximación WKB.
(Aquí, nosotros usamos "unidades naturales" que se establece la constante de Planck igual a 1.)
Para generalizar este concepto, se define un anticonmutador, que se refiere a los operadores la misma manera que un conmutador común, pero con el signo opuesto: Si los operadores están relacionados por anticonmutadores así como conmutadores, decimos que son parte de un superalgebra de Lie.
Digamos que tenemos un sistema cuántico descrito por un Hamiltoniano
y un conjunto de N operadores autoadjuntos
: Si este es el caso, llamamos a
Veamos el ejemplo de una partícula unidimensional con grados internos de libertad 2D (es decir, "dos estados") llamada "espín" (no es realmente giro porque el espín "real" es una propiedad de partículas 3D).
Sea W (el "superpotential") una función analítica compleja arbitraria de
y defina los operadores supersimétricos Tenga en cuenta que
Sea el Hamiltoniano donde w' es la derivada de W. También tenga en cuenta que
Esto no es otra cosa que supersimetría N = 2.
También vamos a llamar al "espín hacia abajo" "estado bosónico" y al "espín hacia arriba" "estado fermiónico".
Esto es sólo en analogía con la teoría cuántica de campos y no debe ser tomado literalmente.
mapean los estados "bosónicos" en "fermiónicos", y viceversa.
Defina el superconmutator [,} de la siguiente manera: entre dos operadores bosónicos o uno bosónico y uno fermiónico, no es otro que el conmutador entre dos operadores fermiónicos, esto es un anticonmutator.
A continuación, Esto no es lineal en general: es decir, de partida,
no forman una representación lineal de SUSY porque
Para evitar este problema, se define el operador autoadjunto
A continuación, y vemos que se tiene una representación lineal de SUSY.
con éste siendo el adjunto de la antigua tal que y ambos conmutan con operadores bosónicos pero anticonmutan con los fermiónicos.
A continuación, definimos un constructor llamado un "supercampo": "
A continuación, Por cierto, también hay una simetría U(1)r, con
References from Spires (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).