En física, la aproximación WKB es un método para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables.
Se usa especialmente para cálculos semiclásicos en mecánica cuántica en los que la función de onda se escribe como una exponencial cuya amplitud o fase varían lentamente.
Otros acrónimos usualmente usados son aproximación JWKB y aproximación WKBJ, donde la "J" representa a Jeffreys.
Este método lleva el nombre de los físicos Wentzel, Kramers, y Brillouin, quienes lo desarrollaron en 1926.
A pesar de que la ecuación de Schrödinger fue propuesta dos años después, Wentzel, Kramers y Brillouin parece que no estaban al tanto del trabajo previo de Jeffreys por lo que a veces se excluye a éste del reconocimiento.
Los primeros textos de mecánica cuántica contienen combinaciones de sus iniciales, que incluyen WBK, BWK, WKBJ, JWKB y BWKJ.
Referencias anteriores al método son: Carlini en 1817, Liouville en 1837, Green en 1837, Rayleigh en 1912 y Gans en 1915.
Liouville y Green pueden ser llamados los fundadores del método, en 1837, y esto es también comúnmente llamado como "Liouville-Green" o "método LG".
La importante contribución de Jeffreys, Wentzel, Kramers y Brillouin al método fue la inclusión del tratamiento momentos, conectando la Fugacidad y oscillatorio soluciones en ningún lado del momento.
En general, la teoría WKB es un método para aproximar la solución de una ecuación diferencial cuya más alta derivada va multiplicada por un pequeño parámetro ε.
Considere la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.
, el equilibrio dominante está dado por: Por lo tanto δ es proporcional a ε. Valorizando a ellos igual y comparando podemos hacer: La cual puede ser reconocida como la ecuación Eikonal, con solución En cuanto a las potencias de primer orden de
da La cual es ecuación de transporte unidimensional, el cual tiene la solución
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión viene dada por:
La función de onda puede reescribirse como la exponencial de otra función Φ (La cual esta estrechamente relacionada con la acción): Así que: Donde Φ' indica la derivada de Φ con respecto a x.
puede separarse en parte real e imaginaria introducciendo las funciones reales A y B: La amplitud de la función de onda es entonces
para satisfacer la parte real de la ecuación.
De primer orden en esta expansión, las condiciones sobre A y B pueden ser escritas.
Si la amplitud varía con la suficiente lentitud en comparación con la fase (
Después que el mismo procedimiento sobre el siguiente orden de la expansión se deduce que: De otro lado, si se varía la fase que varía lentamente (en comparación con la amplitud), (
Se desprende del denominador, que ambas de las soluciones aproximadas divergen cerca del punto de inflexión clásico donde
Por debajo del valle de potencial, la partícula sufre cambios exponenciales en amplitud.
Para completar la derivación, las soluciones aproximadas que se encuentran en todas partes y sus coeficientes emparejados se pueden utilizar para obtener una solución aproximada global.
Dados los dos coeficientes en un lado del punto de inflexión clásico, los dos coeficientes en el otro lado del punto de inflexión clásico se pueden determinar mediante el uso de esta solución local para conectarlos.
es usualmente una serie divergente cuyos términos generales
Por lo tanto, el más mínimo error obtenido por el método WKB es de orden menor al último término incluido.
y la magnitud del último término puede ser estimada como sigue (ver Winitzki 2005), donde
puede ser interpretado como el número de oscilaciones entre
y el punto de inflexión más cercano.
es una función que cambia lentamente, el número