Espacio pseudoeuclídeo

Dicha forma cuadrática puede, realizando la elección de una base adecuada (e1, ..., en), aplicarse a un vector x = x1e1 + ... + xnen, dando Para espacios euclídeos, k = n, lo que implica que la forma cuadrática es positiva-definida.Se pueden hacer declaraciones similares para los vectores para los que q(x) < 0 si k se reemplaza por n − k. La forma cuadrática q corresponde al cuadrado de un vector en el caso euclídeo.Para definir la norma vectorial (y la distancia) de una manera invariante, se tienen que obtener las raíces cuadradas de las magnitudes, lo que conduce posiblemente a distancias imaginarias; véase número imaginario.Por lo tanto, los términos norma y distancia se evitan en la geometría pseudoeuclídea, siendo reemplazados por magnitud e intervalo respectivamente.Sin embargo, para una curva cuyos vectores tangentes tienen todos magnitudes con el mismo signo, se define la longitud de arco.El grupo de las rotaciones de dicho espacio es un grupo ortogonal indefinido O(q), también denominado O(k, n − k) sin una referencia a una forma cuadrática particular.[4]​ Estas "rotaciones" conservan la forma q, y por lo tanto, la magnitud de cada vector, incluyendo si es positivo, cero o negativo.Tal hipersuperficie, llamada cuasi esfera, es conservada por el grupo ortogonal indefinido propio.La definición formal del complemento ortogonal de un subespacio vectorial en un espacio pseudoeuclídeo da un resultado perfectamente bien definido, que satisface la igualdad dim U + dim U⊥ = n debido a la no degeneración de la forma cuadrática.La condición de que se puede incumplir si el subespacio U contiene una dirección nula.Al igual que en cualquier espacio vectorial, se puede definir un cálculo tensorial pseudoeuclídeo.Al igual que con una estructura euclídea, hay operadores tensoriales, pero a diferencia del caso de los tensores euclídeos, no hay bases donde estas operaciones no cambien los valores de los componentes.La correspondencia entre los tensores contravariantes y covariantes hace que el cálculo tensorial en una variedad pseudoriemanniana sea análogo al definido en las variedades riemannianas.Para el espacio de Minkowski, n=4 y k=3[9]​ para que La geometría asociada con esta pseudométrica fue investigada por Poincaré.