Endomorfismo de Frobenius

Esto demuestra que F es un homomorfismo de anillos.

Si el anillo R no tiene elementos nilpotentes, entonces F es inyectivo:

, que por definición implica que r es nilpotente de orden menor o igual a p. En particular, si R es un cuerpo entonces el endomorfismo de Frobenius es inyectivo.

Podemos afirmar que la imagen de F no contiene t. Demostraremos este hecho por contradicción: Suponemos que existe un elemento de K cuya imagen al aplicarle F es t. Dicho elemento es una función racional q(t)/r(t) cuya potencia p-esima (q(t)/r(t))p es igual a t. Esto implica que p(deg q - deg r) = 1, lo cual es imposible.

Para cuerpos finitos el endomorfismo de Frobenius es un automorfismo, ya que es inyectivo (por tratarse de cuerpos) y toda aplicación inyectiva entre conjuntos finitos es una permutación.

Sea Fq el campo finito de q elementos, con

El orden de F es e ya que Fe actúa en un elemento x mandándolo a xq, y esto corresponde a la identidad en Fq.

Cuando el cuerpo base Fq es una extensión no trivial del cuerpo con un número primo de elementos Fp, con q=p^e, y consideramos una extensión Fqf, el automorfismo de Frobenius F de Fqf no fija el cuerpo Fq (de hecho fija F), por lo que necesitamos considerar el e-iésimo iterado Fe.

Los generadores, entonces son potencias Fei con i coprimo a f. El automorfismo de Frobenius no es un generador del grupo de Galois absoluto ya que este grupo es isomorfo a que no es cíclico.

Existen varias alternativas para adaptar el morfismo de Frobenius para la situación relativa, su utilidad depende claramente de la situación que se quiere considerar.