Álgebra de Boole

Según Edward Vermilye Huntington, el término Boolean algebra fue sugerido por primera vez por Henry M. Sheffer en 1913, aunque Charles Sanders Peirce dio el título A Boolian Algebra with One Constant al primer capítulo de su The Simplest Mathematics en 1880.

El álgebra elemental, por otro lado, utiliza operadores aritméticos como la suma, la multiplicación, la resta y la división.

Se denomina así en honor a George Boole (1815-1864), matemático inglés autodidacta que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto de 1847, The Mathematical Analysis of Logic,[1] publicado en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir William Rowan Hamilton.

Esta lógica se puede aplicar a dos campos: Dado un conjunto

en el que se han definido dos leyes de composición interna

es un Retículo distributivo,[5] y complementario, esto es: Basándose en esta definición se determina lo siguiente.

Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas:

son un álgebra de boole, si cumple los siguientes axiomas: Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales: Sea:

Si se cumple que: Para los valores a, b de

las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}.

en este caso está formado por dos elementos {0,1}, o {F, V}, o {no, sí}, dos valores contrapuestos, que son las dos posibles alternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin pérdida de la generalidad, tomaremos el conjunto: {0,1} como ya hemos dicho: Donde: La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada elemento a de {0,1}, le asigna un b de {0,1}.

es un álgebra de Boole al cumplir los siguientes axiomas: Luego

álgebra de Boole, dadas dos variables binarias: a, b, que cumplen alguna de estas condiciones: entonces a es menor o igual que b.

es: Para conjuntos de más elementos se aplica el mismo criterio.

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento A de P(U), le asigna un B de P(U).

Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es la unión A y B. Definiendo la unión de dos conjuntos como: El conjunto C es la unión de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A o de B Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U) por P(U), le asigna un C de P(U).

Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es la intersección A y B. Definiendo la intersección de dos conjuntos como: El conjunto C es la intersección de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A y de B.

conocido, como álgebra de Boole si cumple las siguientes axiomas: Concluyendo que

Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas: Dado

Para toda proposición a, se cumple que existe una única proposición b, tal que b es la negación de a.

es un álgebra de Boole al cumple los siguientes axiomas: Luego

Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas: Sabiendo que

El álgebra de Boole se basa en un conjunto en el que se han definidos tres operaciones internas: una unaria y dos binarias, como ya hemos visto, siendo cómoda esta definición.

Sin perdida de la generalidad, y dado los distintos formas que puede adoptar el álgebra de Boole consideraremos la lógica proposicional con las proposiciones: a, c, b, etc. Que pueden tomar los valores verdadero: V o falso: F. Y las conectivas lógicas sobre esas proposiciones que dan como resultado otras proposiciones lógicas, cada proposición: a, b, c, etc.

La negación conjunta de proposiciones es equivalente a la puerta lógica NOR.

La conjunción opuesta de proposiciones es equivalente a la puerta lógica NAND.

y donde a, b, c, d, ... son variables o constantes que pueden tomar valores del conjunto

, donde se han definido las siguientes operaciones internas: podemos decir que son fórmulas bien formadas: fbf: 1: Una variable o constante: 2: La negación de una variable o constante: 3: La operación binaria entre dos variables o constantes: 4: El resultado de sustituir en una fórmula bien formada, una variable o constante por una fórmula bien formada: La aplicación repetida de estos criterios dará siempre una fórmula bien formada.

Si existen paréntesis, deben resolverse primero los más internos y trabajar hacia fuera.