Dichas secuencias se suelen generar a partir del muestreo de una función continua, como puede ser la voz humana.
Al contrario que la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT), esta transformación únicamente evalúa suficientes componentes frecuenciales para reconstruir el segmento finito que se analiza.
Por la misma razón, la DFT inversa (IDFT) no puede reproducir el dominio del tiempo completo, a no ser que la entrada sea periódica indefinidamente.
Las funciones sinusoidales base que surgen de la descomposición tienen las mismas propiedades.
En particular, la DFT se utiliza comúnmente en procesado digital de señales y otros campos relacionados dedicados a analizar las frecuencias que contiene una señal muestreada, también para resolver ecuaciones diferenciales parciales, y para llevar a cabo operaciones como convoluciones o multiplicaciones de grandes números enteros.
Los algoritmos FFT se utilizan tan habitualmente para calcular DFTs que el término "FFT" muchas veces se utiliza en lugar de "DFT" en lenguaje coloquial.
Formalmente, hay una diferencia clara: "DFT" hace alusión a una transformación o función matemática, independientemente de cómo se calcule, mientras que "FFT" se refiere a una familia específica de algoritmos para calcular DFTs.
La secuencia de N números complejos x0, ..., xN−1 se transforma en la secuencia de N números complejos X0, ..., XN−1 mediante la DFT con la fórmula: donde i es la unidad imaginaria y
(Esta expresión se puede escribir también en términos de una matriz DFT; cuando se escala de forma apropiada se convierte en una matriz unitaria y Xk puede entonces ser interpretado como los coeficientes de x en una base ortonormal.)
a partir del módulo y argumento complejos de
para ambas DFT y IDFT hace las transformadas unitarias, lo cual tiene ciertas ventajas teóricas, pero suele ser más práctico a la hora de efectuar operaciones numéricas con el ordenador efectuar el escalado de una sola vez (y un escalado unitario suele ser conveniente en otras ocasiones).
(El convenio del signo negativo en el exponente suele ser adecuado porque significa que
En adelante, los términos "secuencia" y "vector" serán considerados equivalentes.
En otras palabras, para cada N > 0, cualquier vector complejo N-dimensional tiene una DFT y una IDFT que consisten también en vectores complejos N-dimensionales.
forman una base ortogonal sobre el cuerpo de los vectores complejos N-dimensionales: donde
Si Xk y Yk son las DFTs de xn y yn respectivamente, entonces el teorema de Plancherel establece que: donde el asterisco denota conjugación compleja.
para cualquier entero m equivale a un desplazamiento circular de la salida
operaciones, de modo que se consigue una eficiencia mucho mayor.
Se han creado otros métodos que usan la convolución circular como parte de un proceso eficiente que obtiene convoluciones normales (no circulares) con una secuencia
potencialmente mucho más larga que N. Ambos métodos se conocen como overlap-save y overlap-add.
[1] Es posible demostrar que: El polinomio interpolador trigonométrico donde los coeficientes Xk vienen dados por la DFT de xn anterior, satisface la propiedad de interpolación
Esta interpolación no es única: el aliasing implica que se podría sumar N a cualquier frecuencia compleja sinusoidal (por ejemplo, cambiando
) sin que se altere la propiedad de interpolación, pero dando valores diferentes entre
En primer lugar, consiste en sinusoides cuyas frecuencias tienen las magnitudes más pequeñas posibles: la interpolación es limitada en banda.
como se ha visto previamente), similar a la fórmula de la DFT inversa.
Dicho determinante es el producto de los valores propios, que siempre son
En un espacio vectorial real, una transformación unitaria puede verse simplemente como una rotación rígida del sistema de coordenadas, y todas las propiedades de esta rotación rígida pueden hallarse en la DFT unitaria.
La ortogonalidad de la DFT se convierte ahora en ortonormalidad.
se define como la DFT unitaria del vector
, esto implica que la longitud del vector también se mantiene—esto es el Teorema de Parseval: