Vector, valor y espacio propios

En álgebra lineal, los vectores propios, eigenvectores o autovectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección.Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal.El uso del prefijo auto- es un caso propio y singular que se da solamente en español, portugués e italiano.En otras lenguas (alemán, neerlandés, inglés, francés, ruso, etc.) nadie parece haber traducido eigen- (propio, perteneciente a, etc.) por auto- (que nada tiene que ver con la etimología o el significado del prefijo eigen).Las transformaciones lineales del espacio —como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones— pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores.Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real.A medida que la Tierra rota, los vectores en el eje de rotación permanecen invariantes.Si se considera la transformación lineal que sufre la Tierra tras una hora de rotación, una flecha que partiera del centro de la Tierra al polo Sur geográfico sería un vector propio de esta transformación, pero una flecha que partiera del centro a un punto del ecuador no sería un vector propio.Las amplitudes (valores propios) de las ondas estacionarias decrecen con el tiempo si se considera la atenuación.En esta ecuación, tanto el valor propio λ y las n componentes de vλ son desconocidos.Sin embargo, a veces es poco natural o incluso imposible escribir la ecuación de valor propio en forma matricial.Sus autofunciones h(t) obedecen a la ecuación de valor propio: donde λ es el autovalor asociado con la función.En su versión más simple, el teorema espectral establece que, bajo unas condiciones determinadas, una transformación lineal puede expresarse como la combinación lineal de los vectores propios con coeficientes de valor igual a los valores propios por el producto escalar de los vectores propios por el vector al que se aplica la transformación, lo que puede escribirse como: dondeSin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente n raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad.y sus valores propios son el par de conjugados complejos i, -i.El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico.En la práctica, los valores propios de las matrices extensas no se calculan usando el polinomio característico.La manera más fácil es el método de las potencias: se escoge un vector aleatorioSin embargo, hay métodos más populares, como la descomposición QR, que se basan en él.Esto proporciona una demostración simple de que la multiplicidad geométrica es siempre menor o igual a la algebraica.Esto se aprecia tan fácilmente a partir de la segunda formulación equivalente, pues la matrizEn una matriz cuadrada A con entradas de un anillo, λ recibe el nombre de valor propio por la derecha si existe un vector columna x tal que Ax=λx, o un valor propio por la izquierda si existe un vector fila no nulo y tal que yA=yλ.Hay operadores en los espacios de Hilbert o Banach que no tienen vectores propios.Sin embargo, cualquier operador lineal acotado en un espacio de Banach V tiene espectro no vacío.La notación bra-ket, utilizada a menudo en este contexto, pone énfasis en la diferencia entre el vector o estadoTales ecuaciones se resuelven normalmente mediante un proceso iterativo, llamado método de campo consistente propio.En química cuántica a menudo se representa la ecuación de Hartree-Fock en una base no ortogonal.El análisis factorial es una técnica estadística usada en ciencias sociales y mercadotecnia, gestión de producto, investigación operativa y otras ciencias aplicadas que tratan con grandes cantidades de datos.Los valores propios definen los momentos máximos y mínimos obtenidos mediante el círculo de Mohr.