son raíces del polinomio característico (valores propios), yTenemos valores propios de A que son solo λ = 5, 5, 5, 5.representa la matriz identidad de orden 4), por lo tanto A no es diagonalizable.1) Supongamos que se quiere diagonalizar la siguiente matriz Primeros calculamos el polinomio característico y vemos sies diagonalizable buscamos los autovectores, estos conforman las bases de los espaciosEn particular, un vector de la base (el más simple sin contar el nulo) es (1,1,0).pero este espacio es unidimensional luego no alcanzan los autovectores para construir una base de(suponiendo que estamos trabajando en este espacio) y por lo tanto¿Cómo reducir esta matriz a una forma simple entonces si no la podemos hacer diagonal?Sea B esta base, debe estar conformada por tres vectores y solo tenemos dos.Hay varias maneras de encontarlo, una es proponery buscar las coordenadas (a,b,c) tal que se cumplaPor la manera en la que definimos la base B la matriz J tiene que ser es decir que basta efectuar los productos mencionados e igualarlos, queda Queda formado entonces el siguiente sistema que son infinitos vectores de la forma(notemos que se trata de una múltiplo del autovector asociado al autovalor 2 pero con una coordenada sumada).cumple que Nota: podemos resolver el sistema PJ=AP triangulando la matriz ampliadaEste algoritmo será analizado en el siguiente ejemplo con más detalle.esto equivale a afirmar que el vectorPara encontrar otro vector linealmente independiente, podemos triangular la matriz A-2I ampliada con las coordenadas del autovector (asociado a este autovalor 2) como columna.Sin embargo todavía nos falta un vector más para construir una base deFormamos 3) Hallar la forma canónica de Jordan de la matriz Hallamos el polinomio característico: Sus raíces sonTriangulamos Por lo tanto el espacio propio asociado a este autovalor esBuscamos la base en la cual A tiene la forma de Jordan.Una forma de encontrar estos vectores es la siguiente.hasta que la dimensión del último sea la multiplicidad de la raíz (4 en este caso).Obtenemos que el rango es 3, luego su nulidad es 2.han de valer cero, excepto las dos primeras.y observamos que las dos últimas coordenadas han de valer 0., por ejemplo con el vector (0,0,1,0,0): En este caso, la nulidad de) no puede ser superior a la multiplicidad algebraica del autovalor 1, que es 4, ya hemos llegado a la dimensión máxima.pero que no pertenezca a ninguno de los anteriores.
Ejemplo de matriz en forma normal de Jordan. Los bloques en gris se conocen como bloques de Jordan. Nótese que la
en diferentes bloques puede ser igual.
