(Un polinomio se llama primitivo si el máximo común divisor de sus coeficientes es 1).
Permite demostrar como corolarios suyos que si
es un dominio de factorización única (DFU) y
Cuando se aplica este resultado a
como anillo de factorización única se obtiene que un polinomio primitivo con coeficientes enteros es irreducible sobre los enteros si y sólo si es irreducible sobre los racionales.
y la irreducibilidad del mismo polinomio en
es un DFU, se puede demostrar que si
Así, se tiene como corolario que si
, sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP).
Con esto se pueden construir fácilmente ejemplos de anillos que son DFU per no DIP.
no es un DIP pero sí es un DFU, pues
También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.
sobre los enteros se llama primitivo si el máximo común divisor de sus coeficientes es 1.
En otras palabras, si ningún número primo divide a todos sus coeficientes.
La misma definición se puede hacer si el polinomio tiene coeficientes en un dominio de factorización única cualquiera: un polinomio es primitivo si sólo las unidades dividen a todos sus coeficientes (el máximo común divisor de sus coeficientes es 1).
Si el anillo es un dominio de factorización única, como cada uno de los coeficientes se puede escribir como producto de elementos primos, que el polinomio sea primitivo es equivalente a que ningún elemento primo divida a todos sus coeficientes.
dos polinomios con coeficientes en un dominio de factorización única
Si no lo fuera, usando la factorización en elementos primos del anillo, como ya hemos comentado arriba, debería existir un elemento primo que dividiera a todos los coeficientes del producto
Vamos a ver que ningún elemento primo puede cumplir esto, de manera que
un elemento primo y vamos a encontrar un coeficiente de
sí que son primitivos, debe existir por lo menos un coeficiente de cada uno no divisible por
del primer sumatorio son todos divisibles por
del segundo sumatorio son todos divisibles por
, lo cual es contradictorio con cómo hemos definido estos coeficientes.
), y las restantes raíces racionales son las de Aquí,
, luego las raíces racionales se buscan en el conjunto: Chequeando uno obtiene que
Así, las raíces racionales distintas de
, para conocer con que multiplicidad, se puede o bien dividir
y volver a evaluar el cociente en
Se concluye que -1 es raíz doble de