En matemática, un haz F sobre un espacio topológico dado, X, proporciona, para cada conjunto abierto U de X, un conjunto F(U), de estructura más rica.
Un prehaz es similar a un haz, pero con él puede no ser posible la operación de pegado.
Los haces permiten analizar y entender lo que significa ser una propiedad local, tal y como se habla de ello cuando se aplica a una función.
Son una herramienta global para estudiar objetos que varían localmente (i.e., dependiendo del conjunto abierto).
Funcionan como instrumentos naturales para el estudio del comportamiento global de entidades que son de naturaleza local, como los conjuntos abiertos, o las funciones: continuas, analíticas, diferenciables...
El "pegado" se trata del siguiente proceso: supón que los Ui son conjuntos abiertos cuya unión es U, y para cada i cogemos un elemento fi
R. Si estas funciones coinciden allá donde se solapen, entonces podemos pegarlas juntas de manera que nos den una única forma de conseguir una función continua f : U
R. En este ejemplo va a funcionar también el pegado y tendremos un haz de anillos sobre X.
Otro haz sobre X asigna a cada conjunto abierto U de X el espacio vectorial de todas los campos vectoriales diferenciables definidos sobre U.
La restricción y el pegado funcionará como en el caso de las funciones, y obtendremos un haz de espacios vectoriales sobre la variedad X.
En este punto los haces se han convertido ya en una parte fundamental en el desarrollo de la matemática, y su uso no se restringe de ningún modo a la topología algebraica.
Más tarde se descubrió que la lógica en las categorías de haces es intuicionista (se suele a menudo nombrar esta observación como semántica Kripke-Joyal, pero probablemente debiera ser atribuida a un mayor número de autores).
El segundo paso es introducir un axioma adicional, llamado el axioma de pegado o el axioma de haz, que captura la idea de pegar información local para obtener información global.
Un prehaz F de objetos en C sobre el espacio X (un C-prehaz sobre X) viene dado por los datos siguientes: de U a V".
Primero definimos la categoría de los conjuntos abiertos sobre X como la categoría TopX cuyos objetos son los conjuntos abiertos de X y cuyos morfismos son las inclusiones.
Diremos que los fi son compatibles si para todo i j, Intuitivamente hablando, si las fi representan funciones, estamos diciendo que cualquiera de ellas coincidirá con otra allá donde se solapen.
El axioma de haz dice que podemos obtener con los fi una sección única f sobre U cuya restricción a cada Ui es fi, i.e., resU,Ui(f)=fi.
Algunas veces esto se dice con dos axiomas, uno garantizando la existencia y el otro la unicidad.
Parafraseando esta definición de manera que funcione en cualquier categoría, notamos que podemos escribir los objetos y los morfismos envueltos en ella en un diagrama parecido a este: La primera aplicación aquí es el producto de las aplicaciones restricción resU,Ui,:F(U)
La condición de que F sea un haz es exactamente la de que F(U) es el límite del resto del diagrama.
Esto sugiere que debemos parafrasear la noción de recubrimiento en un contexto categorial.
No es difícil comprobar que F es un haz de conjuntos sobre X.