Número p-ádico
La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de cercanía o valor absoluto.
Su influencia ahora se extiende mucho más allá de este propósito inicial.
Por ejemplo, el cuerpo del análisis p-ádico proporciona esencialmente una forma alternativa de cálculo infinitesimal.
Esta expansión puede ser calculada mediante la división larga del numerador por el denominador, que a su vez se basa en el siguiente teorema: si
La expansión decimal se obtiene aplicando repetidamente este resultado al resto
Esto da el paso de división como para que en la iteración genere el nuevo número racional.
La expansión p-ádica de un número racional es una serie que converge al número racional, si se aplica la definición de serie convergente con el valor absoluto p-ádico.
converge (para el valor absoluto p-ádico) a un número racional si y solo si finalmente es periódico.
En este caso, la serie es la expansión p-ádica de ese número racional.
Se va a calcular la expansión 5-ádica según la identidad de Bézout para
(para ejemplos más grandes, esto se puede calcular con el algoritmo de Euclides extendido).
De este modo Para el siguiente paso, se tiene que dividir
Se tienen los siguientes hechos: tiene un orden mayor que n (es decir, es un número racional de la forma
Es decir, denotando la equivalencia con ~, si S, T y U son series p-ádicas distintas de cero tales que
Es posible usar una notación posicional similar a la que se usa para representar números en base p. Sea
también son números enteros p-ádicos (por la razón de que d tiene un módulo inverso pe para cada e).
Como la métrica se define a partir de una valoración discreta, cada bola es también cerrada.
Sin embargo, se puede construir un cuerpo algebraico cerrado, que además sea un espacio métrico completo y contenga a
Esto proporciona otra forma de definir enteros p-ádicos (salvo un isomorfismo).
Se puede usar el mismo método para calcular la raíz cuadrada p-ádica de un número entero que es un residuo cuadrático módulo p. Este parece ser el método conocido más rápido para probar si un entero grande es un cuadrado: basta con probar si el entero dado es el cuadrado del valor encontrado en
La aplicación del método de Newton para encontrar la raíz cuadrada requiere que
Con esta notación de derecha a izquierda, la expansión 3-ádica de 1⁄5, por ejemplo, se escribe como Al realizar operaciones aritméticas en esta notación, los dígitos son acarreados a la izquierda.
[5] La notación con comillas es una variante de la representación p-ádica de los números racionales que fue propuesta en 1979 por Eric Hehner y Nigel Horspool para manejar en las computadoras la aritmética (exacta) generada con estos números.
El conjunto de los números reales R tiene solo una única extensión algebraica propia: los números complejos C. En otras palabras, esta extensión de cuerpos ya es algebraicamente cerrada.
[11][12] Aquí se llega a una estructura completa, ya que Cp es algebraicamente cerrado.
[11][13] Sin embargo, a diferencia de C, este cuerpo no posee compacidad local.
[14] Por ejemplo, el cuerpo ciclotómico n-ésimo es un subcuerpo de Q13 si y solo si n = 1, 2, 3, 4, 6 o 12.
Para p = 2 se debe tomar al menos la cuarta potencia.
A menudo, es necesario realizar un seguimiento simultáneo de todas las terminaciones mencionadas anteriormente cuando E es un cuerpo numérico (o, más generalmente, un cuerpo global), que se considera que codifica información local.
Esto se logra mediante los anillos adeles y los grupos ideles.
