Fórmula de Euler-Maclaurin
En matemáticas, la fórmula de Euler-Maclaurin relaciona a integrales con series.
Esta fórmula puede ser usada para aproximar integrales por sumas finitas o, de forma inversa, para evaluar series (finitas o infinitas) resolviendo integrales.
La fórmula fue descubierta independientemente por Leonhard Euler y Colin Maclaurin en 1735.
Euler usó esta fórmula para calcular valores de series infinitas con convergencia lenta y Maclaurin la utilizó para calcular integrales.
es una función suave (suficientemente derivable) definida
en los extremos del intervalo de integración (0 y n).
Para cualquier entero positivo p, tenemos que se cumple: donde
son los números de Bernoulli y R es una estimación del error normalmente pequeña.
Realizando un cambio de variable en la integral, se puede modificar esta fórmula para funciones
definidas en otros intervalos de la recta real.
son los polinomios de Bernoulli periódicos.
El término de error se puede acotar por: Si
es un polinomio y p es suficientemente grande, entonces el término de error R se anula, por lo que se pueden resolver series de polinomios de forma exacta.
, escogiendo p = 2 se obtiene: (ver fórmula de Faulhaber).
Puede ocurrir que esta fórmula siga siendo válida incluso tomando el límite
Se seguirá la demostración que aparece en Apostol.
se pueden definir recursivamente como sigue: Los primeros 4 son: Los valores
se definen como: Es decir, son iguales a los polinomios de Bernoulli en el intervalo (0,1), pero son funciones periódicas de periodo 1 en el resto del eje real.
Sea la integral donde Integrando por partes obtenemos Sumando desde
a ambos lados de la igualdad y reagrupando términos se obtiene: Por tanto, los dos últimos términos nos dan el error cuando la integral se toma como aproximación de la serie.
Consideremos ahora a la siguiente integral: donde Integrando otra vez por partes se obtiene Sumando desde
y reemplazando la última integral en (1) por el resultado que se acaba de obtener, tenemos: Obviamente, este procedimiento puede ser iterado.
Para acotar el tamaño del error cuando la suma se aproxima por la integral, se tiene en cuenta que, en el intervalo
, los polinomios de Bernoulli alcanzan sus valores máximos absolutos en los puntos finales del intervalo (véase D.H.
Esta fórmula no es más que una notación formal de la idea de tomar derivadas en un punto, entonces se tiene para
Los polinomios de Bernoulli, como sus duales, forman un conjunto ortogonal de estados en el intervalo unidad, así se tiene: y La fórmula de Euler-MacLaurin se obtiene multiplicando la última igualdad por la función a sumar
e integrando el resultado sobre el intervalo unidad: Tomando
Nótese que los números de Bernoulli se definen como
Sin embargo, esta representación no es completa en el conjunto de funciones cuadrado integrables.
pertenece al núcleo, pues la integral de
