, viene dado por la expresión: Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma
, donde r es un número real radio de convergencia de la serie.
Esta converge, pues, al menos, para los valores de
pertenecientes al intervalo
, ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado.
Si la serie converge solo para
Si lo hace para cualquier valor de
Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.
en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencias
, tiene el siguiente aspecto: (Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor).
Su radio de convergencia es
Eso significa que para calcular si se toma cualquier valor cuya distancia al
, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho (La cuenta se puede hacer por serie de potencia).
Y por otro lado Pero si se toma un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el
, al remplazarlo en la serie, esta será divergente (por eso el nombre de radio de convergencia).
Efectivamente: El cálculo del radio de convergencia no es simple.
Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia.
tiene la forma: Pero en este caso su radio de convergencia es
Notemos que la función
tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad:
Esto puede llevarnos a pensar que las funciones de variable real que no tengan singularidades tendrán radio de convergencia infinito, lo cual no es así.
En el siguiente ejemplo: Podemos ver que no se anula el denominador para ningún punto y que por tanto:
o m f ( x ) =
No obstante, la serie se puede expresar como: y gracias al desarrollo como serie de potencias de
Con el criterio del cociente podemos comprobar que el radio de convergencia es
sí existen en el plano complejo y son
, ambas a distancia 1 del origen, punto en el que desarrollamos la serie.
Más información en[1] Por ejemplo, la función exponencial
, de hecho y esto vale para todo real
por eso el radio de convergencia será infinito.