Matriz S

Matemáticamente viene dado por un operador S entre dos espacios de Hilbert, cuando el conjunto de estados cuánticos admisibles inicial y final es finito entonces el operador S se reduce a una matriz y de ahí su nombre (ya que en sus inicios fue concebido como una matriz entre un conjunto posible de estados).En el formalismo habitual, muchos problemas de dispersión con partículas subatómicas que se influyen mutuamente mediante interacción electromagnética, interacción fuerte o interacción débil no pueden ser resueltos de manera exacta.El formalismo de la matriz S permite realizar los cálculos numéricos para muchos casos que no admiten un tratamiento exacto.La idea básica del método consiste en suponer que los estados inicial y final de un sistema de partículas interectuantes son autoestados del hamiltoniano libre (sin interacción).El estado inicial se considera un estado del pasado remoto (que físicamente se concibe como el estado de las partículas cuando están muy lejos entre sí, antes de empezar a interacutar, y por tanto son autoestados "libres"), mientras que el estado final se considera también como un estado libre de interacción en el futuro remoto, como el que alcanzarán las partículas cuando se hayan separado definitivamente y no se ejerzan influencias mutuas.Estos experimentos pueden dividirse en tres etapas: Para que el formalismo de la matriz S sea aplicable es necesario poseer una teoría física del proceso de interacción que permita calcular las probabilidades de los diferentes resultados posibles.El proceso de colisión no es enteramente determinista, además el resultado o estado final depende de la energía entrante, en las partículas y sus momentos.Esta, la energía inicial afecta críticamente a cual será el resultado más probable, es decir, según la energía de las partículas entrantes el resultado más probable puede ser uno u otro (por ejemplo en la desintegración del mesón Kaón Large, en tres Piones, normalmente, y otras veces en dos).Donde debe señalarse que los estados a y b son estados idealizados o asintóticos definidos por la ausencia de interacción entre ambos (debido a que ambos describan partículas alejadas de la localización donde se produce la interacción).La matriz S así definida depende de la energía de la colisión, si se extiende al plano complejo la función que da la matriz S en términos de la energía, resulta que los polos de dicha función pueden identificarse con los estados ligados los estados virtuales o las resonancias.Esto resulta muy útil ya que frecuentemente no es posible describir exactamente todos los detalles de la interacción (o al menos algunos de los más interesantes).Formalmente la matriz S se define como un operador unitario entre los espacios de Hilbert.Técnicamente la matriz se puede definir para cualquier espacio-tiempo asintóticamente soluble sin horizonte, aunque comúnmente se plantea sobre un espacio-tiempo plano de Minkowski, ya que matemáticamente es la situación más simple.Para este caso particularmente simple, el espacio de Hilbert entrante y saliente es el espacio donde actúa una representación irreducible unitaria del grupo de Lorentz inhomogéneo.Usando la notación de Dirac, el estado del vacío cuántico se representa sencillamente comoson ambos invariantes bajo traslaciones y que los estadosson autoestados del operador de momento linealEn la "imagen" de Heisenberg los estados son independientes del tiempo, de tal manera que los estados iniciales pueden expresarse como combinación lineal de una base para los estados finales y viceversa, tal como sigue: dondeSi la S describe la interacción correctamente debe cumplirse que dos estados inicial y final, para los cuales su amplitud de probabilidad no sea nula deban tener la misma energía y momento (y eventualmente otras leyes de conservación también deben cumplirse).Usando la imagen de Heisenberg para relacionarlos operadores relevantes en la interacción, se tiene que: Por tanto, porque Substituyendo la expresión explícita para U se obtiene: Esta ecuación sin embargo no es explícitamente covariante.La matriz S fue introducida por primera vez por John Archibald Wheeler en un artículo de 1937 titulado "'On the Mathematical Description of Light Nuclei by the Method of Resonating Group Structure'".Al hacer eso introdujo una matriz S "característica" unitaria.[2]​ El hamiltoniano cuántico que describe un sistema puede ser dividido en una parte que representa la evolución libre sin interacción (hamiltoniano libre o no perturbado)satisface una ecuación análoga es posible iterar una y otra vez esta ecuación hasta obtener un desarrollo perturbativo: Y a partir de ese desarrollo se obtiene:indica el producto cronológicamente ordenado de los operadores entre paréntesis:El desarrollo anterior es precisamente la serie de Dyson para la matrizY por tanto dicha matriz puede ser calculada hasta cualquier orden de aproximación mediante la serie anterior, usando el teorema de Wick.puede ser, por ejemplo, un término de interacción del tipoEstas funciones son calculables perturbativamente a través del citado teorema de Wick., que eliminan los polos, y después hacer el límite on-shell de los momentos lineales, es decir,