Estas denominaciones se deben a que el operador escalera quita o agrega un cuanto a la energía que coincide con los autovalores de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
Aplicaciones de los operadores escalera se pueden ver en el oscilador armónico cuántico y en el momento angular.
tienen una relación de conmutación que es proporcional al operador
es de subida, entonces su operador adjunto será de bajada y viceversa, ya que obedecen la relación:
A continuación veremos la aplicación de los operadores escalera al caso del oscilador armónico cuántico.
Así, diagonalizaremos el Hamiltoniano aplicando el álgebra de los operadores escalera.
Comenzaremos reescribiendo el Hamiltoniano en término de magnitudes adimensionales (para ello se puede aplicar el análisis dimensional).
que permiten expresar el Hamiltoniano como la suma de formas cuadráticas
Esta forma sugiere definir un operador y su adjunto tales que su producto sea proporcional al Hamiltoniano (de manera equivalente a la definición de complejo y complejo conjugado).
Así, si definimos el operador de bajada
es fácil comprobar que la relación de conmutación posición-momento
no conmutan, es decir, del principio de indeterminación.
Veremos en lo que sigue que este término da lugar a la energía del punto cero o energía del estado fundamental.
está relacionado con el espectro del operador número
es un operador escalera de bajada, ya que
donde se ha tenido en cuenta la relación de conmutación.
Para obtener los valores propios del operador número
utilizaremos las siguientes propiedades del espectro de
: Así, los valores propios del operador
Podemos utilizar los resultados anteriores para obtener las autofunciones del oscilador armónico.
Para obtener el estado fundamental, podemos aplicar el operador escalera de bajada.
podemos expresar dicha ecuación en la representación de coordenadas,
que se puede reescribir como una ecuación diferencial
Así la solución a esta ecuación diferencial permite obtener la función de ondas del estado fundamental
donde la constante de normalización se obtiene al imponer
La teoría cuántica de campos usa también operadores de creación y destrucción cuya álgebra básica recuerda a la de los operadores escalera del oscilador armónico cuántico.
Sin embargo, la teoría en el caso del oscilador armónico existe un solo operador de creación y uno de destrucción, en cambio en teoría cuántica existe toda una colección de los mismos (de hecho para cada posible estado de una partícula existe un operador que representa la "creación" una partícula en ese estado y un operador que representa la "aniquilación" de una partícula en ese estado).
Así el operador que aniquila una partícula en el estado
Estos operadores satisfacen las siguientes relaciones de conmutación:
Análogas a las construidas para los operadores de creación y destrucción del oscilador armónico.