Función de onda normalizable

Una función de onda normalizable es una solución de la ecuación de Schrödinger tal que la integral de su módulo al cuadrado es finita.Cuando esto sucede el estado cuántico caracterizado por dicha función de onda es interpretable como una partícula localizada.Por ejemplo los sistemas de partículas ligados por interacciones cuyo movimiento está siempre dentro de una región finita del espacio se pueden describir mediante funciones de onda normalizables, así los electrones ligados de un átomo o una molécula se describen mediante funciones de onda normalizada y también los nucleones dentro del núcleo atómico.Sin embargo, existen estados físicamente realistas como las partículas en colisión que no admiten una función de onda normalizable y que usualmente cuando fuera de la zona donde se produce la colisión o interacción vienen descritos como funciones de tipo "onda plana" y en general no resultan funciones de onda normalizables.representa la probabilidad de encontrar la partícula, en el instante t, en el elemento de volumenen torno al puntoComo consecuencia, la probabilidad de encontrar la partícula en todo el espacio será la unidad y, por tanto (1)donde la integración se extiende a todo el espacio.Esta condición significa que las funciones de onda que representan una partícula localizada en una región del espacio finita tienen que ser de cuadrado integrable.Conviene expresar la condición de normalización anterior en la notación de Dirac, (2)El hecho de que la ecuación de Schrödinger en la representación de posición sea una ecuación diferencial homogénea implica que siPodemos utilizar la constante de normalizaciónpara conseguir que se cumpla la condición de normalización (2).En efecto, en este caso tendremos que elegirde tal manera queExisten muchos estados físicos interesantes a los que no se puede asociar una función de onda normalizable como los estados de colisión o las ondas planas.Aunque dichos estados no sean normalizables sí permiten definir un cálculo de probabilidades relativas y admiten un buen número de las operaciones del tratamiento cuántico ordinario.El conjunto de estados normalizables puede dotarse de la estructura de espacio de Hilbert, mientras que los estados no-normalizables no pueden pertenecer a un espacio de Hilbert.Sin embargo, para tratar conjuntamente los estados normalizables y los no-normalizables se desarrolló el formalismo de espacios de Hilbert equipados, que son espacios vectoriales tales que:e q u i p