Número de Bernoulli
En matemáticas, los números de Bernoulli (denotados por
Fueron llamados así por Abraham de Moivre, en honor de Jacob Bernoulli, primer matemático que los estudió.
son los números de Bernouilli, con
; los demás números se calculan mediante la siguiente fórmula recursiva: Por ejemplo, si
, tenemos que: El primer algoritmo para la generación automática de números de Bernoulli fue descrito por primera vez por Ada Lovelace en sus notas del año 1843 sobre la máquina analítica de Charles Babbage.
A continuación se ofrecen los primeros números de Bernoulli (las sucesiones completas de numeradores y denominadores en OEIS son, respectivamente, A027641 y A027642): Se puede demostrar que
para todo n impar distinto de 1.
La peculiar forma del valor de
parece señalar que los valores de los números de Bernoulli no tienen una descripción elemental; de hecho, esencialmente son valores de la función zeta de Riemann para enteros negativos y están asociados a propiedades profundas de la teoría de los números y, por ello, no se espera que tengan una formulación trivial.
Se sabe que la suma de los números de Bernoulli diverge.
Leonhard Euler expresó los números de Bernoulli en términos de la función zeta de Riemann con la expresión siguiente: Para los valores negativos de k mayores o iguales a uno en la función zeta de Riemann se tiene: Como ya se ha indicado, los números de Bernoulli pueden expresarse en términos de la función zeta de Riemann, lo que implica que en esencia, son valores de la función zeta para los enteros negativos.
Así, se puede esperar que tengan propiedades aritméticas de índole no trivial, un hecho que fue descubierto por Ernst Kummer en sus trabajos sobre el Último teorema de Fermat.
Las propiedades de los números de Bernoulli relacionados con su divisibilidad se relacionan con los grupos de clases ideales de campos ciclotómicos gracias al teorema de Kummer y se refuerzan gracias al teorema de Herbrand-Ribet; también se relacionan con los campos cuadráticos gracias a las proposiciones de Ankey-Artin-Chowla.
Además, relacionada con la cuestión de la divisibilidad, existe un teorema (von Staudt-Clausen) que nos indica que si sumamos 1/p a
para todo número primo p tal que
Este hecho nos permite caracterizar de forma inmediata a los denominadores de los números de Bernoulli
distintos de cero como el producto de todos los números primos p tales que
En consecuencia los denominadores están libres de cuadrados y son divisibles por 6.
Finalmente, otro resultado (la conjetura de Agoh–Giuga) postula que p es un número primo si y solo si
Una importante propiedad relacionada con la congruencia de los números de Bernoulli es la denominada propiedad de la «continuidad p-ádica».
Esta propiedad dice lo siguiente: si b, m y n son enteros positivos tales que m y n no son divisibles por p - 1 y
, también puede escribirse como: donde u = 1 - m y v = 1 - n, de forma que 'u y v ni son positivos ni son congruentes con
En esencia, esto lo que nos indica es que la función zeta de Riemann, con
extraídos de la fórmula del producto de Euler, es continua tanto en los números p-ádicos como en los números enteros negativos congruentes módulo p - 1 con un a concreto tal que
, lo que permite extender el resultado a una función continua
para todos los enteros p-ádicos
en lo que se denomina función zeta p-ádica.
