Número de Bell
Artículo principal: Partición de un conjunto En general,
es definida como un conjunto no vacío, formado por subconjuntos separados de
se puede dividir de 5 formas distintas.
en números mayores que 1, siendo dos factorizaciones iguales si tienen los mismos factores pero en orden diferente.
probabilidad que describiría una permutación uniformemente aleatoria de la baraja.
Por ejemplo, el enésimo número de Bell equivale al número de permutaciones en n elementos en los que no hay tres valores que están en orden ordenado tienen los últimos dos de estos tres consecutivos.
En una notación para patrones de permutación generalizada donde los valores que deben ser consecutivos se escriben adyacentes entre sí, y los valores que pueden aparecer de manera no consecutiva están separados por un guion, estas permutaciones se pueden describir como las permutaciones que evitan el patrón 1-23.
Las permutaciones que evitan los patrones generalizados 12-3, 32-1, 3-21, 1-32, 3-12, 21-3 y 23-1 también son contadas por los números de Bell.
Las permutaciones en las que cada patrón 321 (sin restricción en valores consecutivos) se pueden extender a un patrón 3241 también se cuentan por los números de Bell.
Estas son las primeras cinco filas del triángulo construido por estas reglas: Los números de Bell aparecen tanto en el lado izquierdo como en el derecho del triángulo.
opciones para los k elementos que quedan después de que se elimine un conjunto, y Bk opciones de cómo dividirlos.
Spivey (2008) ha dado una fórmula que combina estas dos sumas:
Una forma de derivar este resultado es la combinatoria analítica, un estilo de razonamiento matemático en el que los conjuntos de objetos matemáticos se describen mediante fórmulas que explican su construcción a partir de objetos más simples, y luego esas fórmulas se manipulan para derivar las propiedades combinatorias de los objetos.
En el lenguaje de la combinatoria analítica, una partición establecida puede describirse como un conjunto de urnas no vacías en la que los elementos etiquetados de 1 a n se han distribuido, y la clase combinatoria de todas las particiones (para todos los n) puede expresarse mediante la notación
es una clase combinatoria con un solo miembro de tamaño uno, un elemento que se puede colocar en una urna.
describe la partición general como un conjunto de estas urnas.
La función en sí se puede encontrar al resolver esta ecuación.
Alguna representaciones asintóticas, pueden derivarse por la aplicación estándar del método del descenso más pronunciado, también conocido como método Gradiente.
Los números de Bell forman una secuencia logarítmica convexa.
Esta fórmula puede ser derivada para expandir la función de generación exponencial utilizando la serie de Taylor para la función exponencial, y luego recoger términos con el mismo exponente.
, los números de Bell repiten el patrón impar-impar incluso con el periodo 3.
(Es la secuencia A054767 en OEIS) Gardner (1978) planteó la cuestión de si hay infinitos números de Bell que son primos.
Los primeros números de Bell que son primos son: 2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837 (secuencia A051131 en el OEIS) correspondiente a los índices 2, 3, 7, 13, 42 y 55 (secuencia A051130 en el OEIS).
El siguiente número de Bell primo es B2841, que es aproximadamente 9.30740105 × 106538.
Es el número de Bell primo más grande conocido.
Ignacio Larrosa Cañestro mostró que era un probable primo en 2002.
Bell no afirmó haber descubierto estos números; en su artículo de 1938, escribió que los números de Bell "han sido investigados con frecuencia" y "han sido redescubiertos muchas veces".
Bell cita varias publicaciones anteriores sobre estos números, comenzando con Dobiński (1877) que da la fórmula de Dobinski para los números de Bell.
La primera enumeración exhaustiva de las particiones establecidas parece haber ocurrido en el Japón medieval, donde (inspirado por la popularidad del libro El cuento de Genji) surgió un juego de salón llamado genji-ko, en el que los invitados recibieron cinco paquetes de incienso para oler y se les pidió que adivinaran cuáles eran iguales entre sí y cuáles eran diferentes.
Las primeras referencias para el triángulo de Bell, que tiene los números de Bell en ambos lados, incluyen Peirce (1880) y Aitken (1933).
