Una función L p-ádica que surge de esta manera es típicamente llamada función L p-ádica aritmética ya que codifica los datos aritméticos del módulo de Galois involucrado.
En situaciones más generales donde ambas (analítica y aritmética) funciones L p-ádicas son construidas (o se espera), la declaración de que es así se denota como la conjetura principal de Iwasawa para aquella situación.
Tales conjeturas representan declaraciones formales concernientes a la filosofía que los valores especiales de funciones L contienen información aritmética.
Concretamente, Lp(s,χ) es la única función continua del número p-ádico tal que para los enteros positivos n divisibles por p−1.
Cuando n no es divisible por p−1 entonces esto no se cumple usualmente; en su lugar para enteros positivos n. Aquí χ está ramificado por una potencia del carácter de Teichmuller ω.