Más precisamente, trata la manera de describir y construir estas extensiones en términos de propiedades aritméticas del propio cuerpo básico.
Sin embargo, esta noción ya era conocida por Kronecker y, en realidad, fue Weber quien acuñó el término antes de que se publicaran los artículos fundamentales de Hilbert.
En el caso de las extensiones no abelianas, los primeros resultados importantes empezaron a obtenerse hace 25 años y forman parte del programa de Langlands.
Consideremos la extensión abeliana máxima A de un cuerpo local o global K. Es de grado infinito sobre K; el grupo de Galois G de A sobre K es un grupo profinito infinito, por tanto un «grupo topológico compacto», y es abeliano.
La extensión abeliana finita correspondiente a un subgrupo abierto de índice finito se denomina cuerpo de clases para ese subgrupo, lo que dio nombre a la teoría.
o su extensión imaginaria cuadráticas existe una teoría más detallada muy explícita pero demasiado específica que proporciona más información.
es (naturalmente isomorfo a) un producto infinito del grupo de unidades de los enteros p-ádicos tomados sobre todos los números primoss p, y la extensión abeliana máxima correspondiente de los racionales es el cuerpo generado por todas las raíces de la unidad.
Esto se conoce como el teorema de Kronecker-Weber, originalmente conjeturado por Leopold Kronecker.
Esta derivación es puramente teórica de grupos topológicos, mientras que para establecer los axiomas hay que utilizar la estructura de anillos del cuerpo base.[3].
Hay métodos que usan grupos de cohomología, en particular el grupo de Brauer, y hay métodos que no usan grupos de cohomología y son muy explícitos y fructíferos para las aplicaciones.
, Yukiyosi Kawada e Ichiro Satake utilizaron la dualidad de Witt para obtener una descripción muy sencilla de la parte
Sin embargo, estas teorías tan explícitas no podían extenderse a cuerpos numéricos más generales.
La teoría general de cuerpos de clases utilizaba conceptos y construcciones diferentes que funcionan sobre cualquier cuerpo global.
Los famosos problemas de David Hilbert estimularon un mayor desarrollo, que condujo a la leyes de reciprocidad, y a las demostraciones de Teiji Takagi, Phillip Furtwängler, Emil Artin, Helmut Hasse y muchos otros.
Esto se combinó con la dualidad de Pontryagin para dar una formulación más clara aunque más abstracta del resultado central, la ley de reciprocidad de Artin.
La mayoría de los resultados centrales se demostraron en 1940.
Un inconveniente del método cohomológico es su relativa inexplicitud.
(Véase, por ejemplo, Class Field Theory, de Neukirch).