En todos estos enfoques no faltaron los métodos técnicos, a menudo de naturaleza inductiva y basados en la descomposición de Levi, entre otras cuestiones, pero el cuerpo era y es muy exigente.
Langlands luego los generalizó a las representaciones cuspidales automórficas, que son ciertas representaciones irreductibles de dimensión infinita del grupo lineal general GL (n) sobre el anillo adélico de
Sobre grupos globales, debería dar una parametrización de formas automórficas.
La conjetura de funtorialidad establece que se espera que un homomorfismo adecuado de grupos L proporcione una correspondencia entre formas automórficas (en el caso global) o representaciones (en el caso local).
Langlands generalizó la idea de funtorialidad: en lugar de usar el grupo lineal general GL(n), se pueden usar otros grupos reductivos conectados.
Luego pasó a formular un principio de funtorialidad muy general.
Dados dos grupos reductivos y un morfismo (de buen comportamiento) entre sus correspondientes grupos L, esta conjetura relaciona sus representaciones automórficas de una manera que es compatible con sus funciones L. Esta conjetura de funtorialidad implica todas las demás conjeturas presentadas hasta ahora.
Tiene la naturaleza de una construcción de representación inducida, lo que en la teoría más tradicional de formas automórficas se llamaba un 'levantamiento', conocido en casos especiales, y que por lo tanto es covariante (mientras que la representación restringida es contravariante).
Los intentos de especificar una construcción directa solo han producido algunos resultados condicionales.
Todas estas conjeturas se pueden formular para cuerpos más generales en lugar de
: el cuerpo de los números algebraicos (el caso original y más importante), campos locales y campos de función (extensiones finitas de Fp(t) donde p es un primo y Fp(t) es el cuerpo de funciones racionales sobre el cuerpo finito con p elementos).
[7][8][9] Philip Kutzko (1980) probó las Conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL(2, K) sobre cuerpos locales.Gérard Laumon, Michael Rapoport y Ulrich Stuhler (1993) demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL (n, K) para los campos locales característicos positivos K. Su prueba usa un argumento global.Richard Taylor y Michael Harris (2001) demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL(n, K) para cuerpos locales K de característica 0.Guy Henniart (2000) dio otra prueba.
En 2008, Ngô Bảo Châu probó el "lema fundamental", que fue originalmente conjeturado por Langlands y Shelstad en 1983 y que se requiere en la prueba de algunas conjeturas importantes en el programa de Langlands.