Las declaraciones principales no dependen de la naturaleza del campo, aparte de su característica, que no debe dividir el entero n, y por lo tanto pertenecen al álgebra abstracta.
La teoría de las extensiones cíclicas del campo K cuando la característica de K divide a n se llama teoría de Artin-Schreier.
Una extensión de Kummer es una extensión de campo L/K, donde para un entero dado n>1 se tiene que Por ejemplo, cuando n = 2, la primera condición siempre es verdadera si K tiene la característica ≠ 2.
donde a en K es un elemento no cuadrado.
Cuando K tiene la característica 2, no existen tales extensiones de Kummer.
Tomando n = 3, no hay extensiones de Kummer de grado 3 del campo numérico racional Q, ya que para tres raíces cúbicas de 1 se requieren números complejos.
Si se considera que L es el campo de división de (X3 − a) sobre Q, donde a no es un cubo en los números racionales, L contiene un subcampo K con tres raíces cúbicas de 1.
Esto se debe a que si α y β son raíces del polinomio cúbico, se tendrá que (α/β)3 = 1 y la cúbica es un polinomio separable.
De manera más general, es cierto que cuando K contiene n raíces enésimas de la unidad distintas, lo que implica que la característica de K no divide n, entonces contiguo a K la enésima raíz de cualquier elemento a de K crea una extensión de Kummer (de grado m, para algunos m dividiendo n).
La teoría de Kummer proporciona declaraciones inversas.
La correspondencia se puede describir explícitamente de la siguiente manera.
Por el contrario, si L es una extensión de Kummer de K, entonces la regla recupera Δ En este caso existe un isomorfismo.
dado por donde α es cualquier raíz enésima de a en L. Aquí
denota el grupo multiplicativo de enésimas raíces de la unidad (que pertenecen a K) y
equipado con topología de Krull para
con topología discreta (con operación grupal dada por multiplicación puntual).
Este grupo (con topología discreta) también se puede ver como una dualidad de Pontryagin de
, suponiendo que se tenga en cuenta
es un grupo discreto finito y se tiene que Sin embargo, el último isomorfismo no es natural.
Tenga en cuenta que el grupo de Galois es cíclico, generado por
es una extensión abeliana de grado
sin cuadrados, de tal manera que
, se aplica el mismo argumento a los subcampos de Galois de grado
, para obtener donde Supóngase que G es un grupo profinito que actúa sobre un módulo A con un homomorfismo suryectivo π con G módulo A sobre sí mismo.
Supóngase también que G actúa trivialmente en el núcleo C de π y que el primer grupo de cohomología H1 (G, A) es trivial.
Entonces, la secuencia exacta de la cohomología del grupo muestra que existe un isomorfismo entre AG/π(AG) y Hom(G, C).