Multiplicación compleja
En matemáticas, la multiplicación compleja (MC) es la teoría que trata sobre el conjunto de curvas elípticas E sobre el que se define un anillo endomórfico más grande que el correspondiente a los números enteros; y también la teoría en dimensiones más altas de variedades abelianas A que poseen suficientes endomorfismos en un cierto sentido preciso (significa aproximadamente que la acción en el espacio tangente sobre el elemento neutro de A es una suma directa de módulos unidimensionales).
Tiene un aspecto que pertenece a la teoría de las funciones especiales, debido a que tales funciones elípticas, o funciones abelianas de múltiples variables complejas, son funciones "muy especiales" que satisfacen identidades adicionales y toman valores especiales explícitamente calculables en determinados puntos.
También ha resultado ser un tema central en la teoría de números algebraicos, permitiendo que algunas características de la teoría del cuerpo ciclotómico se trasladen a áreas de aplicación más amplias.
Se dice que David Hilbert destacó que la teoría de la multiplicación compleja de curvas elípticas no solo era la parte más bella de las matemáticas, sino también toda la ciencia.
Se dice que una función elíptica
posee multiplicación compleja si existe una relación algebraica entre
A la inversa, Kronecker conjeturó (en lo que se conoció como Kronecker Jugendtraum; literalmente, "sueño juvenil de Kronecker") que toda extensión abeliana de
podría obtenerse mediante la (raíces de la) ecuación de una curva elíptica adecuada con multiplicación compleja.
Un ejemplo de una curva elíptica con multiplicación compleja es donde Z [i] es el anillo entero gaussiano, y θ es cualquier número complejo distinto de cero.
Cualquier toro complejo tiene los enteros gaussianos como anillo de endomorfismo.
Más en general, considérese la retícula L, un grupo aditivo en el plano complejo, generado por
Entonces se obtiene un isomorfismo: a través de la correspondencia uno a uno entre el grupo de toros complejos
y la curva elíptica proyectiva expresada en coordenadas homogéneas y donde el punto en el infinito, el elemento cero de la ley de grupo de la curva elíptica, se toma por convención como
Si la retícula que define la curva elíptica se conserva realmente en la multiplicación por (posiblemente por un subanillo propio de) el anillo de enteros
resulta ser isomorfo a este (sub)anillo.
, entonces Esto significa que el j-invariante de
[2] Cuando el campo de definición es un cuerpo finito, siempre existen endomorfismos no triviales de una curva elíptica, provenientes del endomorfismo de Frobenius, por lo que el caso de multiplicación compleja es en cierto sentido típica (y la terminología no se aplica a menudo).
Kronecker primero postuló que los valores de función elíptica en los puntos de torsión deberían ser suficientes para generar todas las extensiones abelianas para campos cuadráticos imaginarios, una idea que se remonta a Eisenstein en algunos casos, e incluso a Gauss.
Sin embargo, se sitúan un tanto oblicuamente con respecto al impulso principal de la filosofía de Langlands, y no hay ninguna declaración definitiva conocida actualmente.
No es casualidad que o de forma equivalente, que esté tan cerca de un entero.
En general, S [α] denota el conjunto de todas las expresiones polinomiales en α con coeficientes en S, que es el anillo más pequeño que contiene a α y a S. Debido a que α satisface esta ecuación cuadrática, los polinomios requeridos pueden limitarse al grado uno.
Alternativamente, exhibe una estructura interna debida a ciertas series de Eisenstein y con expresiones simples similares para los otros números de Heegner.
Los puntos del semiplano superior τ que corresponden a las relaciones de período de las curvas elípticas sobre los números complejos con multiplicación compleja son precisamente los números cuadráticos imaginarios.
[4] Las invariantes modulares correspondientes j(τ) son los módulos singulares, proveniente de una terminología anterior en la que "singular" se refería a la propiedad de tener endomorfismos no triviales en lugar de referirse a una curva singular.
[5] La forma modular j(τ) es algebraica en números cuadráticos imaginarios τ:[6] estos son los únicos números algebraicos en el semiplano superior para los cuales j es algebraico.
[7] Si Λ es una retícula con una relación de periodos τ, entonces se escribe j(Λ) para j(τ).
Si además Λ es un a ideal en el anillo de enteros OK de un campo imaginario cuadrático K, entonces se escribe j(a) para el correspondiente módulo singular.
