La teoría clásica de la multiplicación compleja, ahora a menudo conocida como "Kronecker Jugendtraum", describe su aplicación para el caso de cualquier cuerpo cuadrático, utilizando funciones modulares y funciones elípticas elegidas con un par fundamental de períodos particulares relacionados con el cuerpo en cuestión.
Ya Gauss había demostrado que, de hecho, cada cuerpo cuadrático está contenido en un campo ciclotómico más grande.
La afirmación original de Hilbert de su duodécimo problema es bastante engañosa: parece implicar que las extensiones abelianas de campos cuadráticos imaginarios se generan mediante valores especiales de funciones modulares elípticas, lo cual no es correcto (es difícil expresar exactamente lo que estaba diciendo Hilbert, un problema es que puede haber estado usando el término "función elíptica" para referirse tanto a la función elíptica ℘ como a la función modular elíptica "j").
En primer lugar, también es necesario utilizar raíces de la unidad, aunque Hilbert puede haber querido implícitamente incluirlas.
no es generada por módulos singulares ni por raíces de la unidad.
Se obtuvo una descripción del campo K ab en la teoría de cuerpos de clases, desarrollada por el propio Hilbert, Emil Artin y otros en la primera mitad del siglo XX.
Dado que este es el caso más accesible de una cohomología l-ádica, estas representaciones se han estudiado en profundidad.
Si bien imaginó un grandioso programa que llevaría el tema mucho más allá, más de treinta años después, quedan serias dudas sobre su importancia para la cuestión planteada por Hilbert.