En teoría de números, un número de Heegner (como lo llaman Conway y Guy) es un entero positivo sin cuadrados
tal que el cuerpo cuadrático imaginario
[1] La determinación de tales números es un caso especial del problema del número de clase, con varios resultados sorprendentes en la teoría de números.
De acuerdo con el teorema de (Baker-)Stark-Heegner, hay exactamente nueve números de Heegner: Gauss conjeturó este resultado y Kurt Heegner lo demostró con algunos defectos menores en 1952.
Alan Baker y Harold Stark probaron independientemente el resultado en 1966, y Stark indicó además que el defecto en la prueba de Heegner era menor.
Rabinowitz[3] demostró que da primos para
[4] La constante de Ramanujan es el número trascendental
, que es un casi entero, ya que está muy cerca de un entero: Este número fue descubierto en 1859 por el matemático Charles Hermite.
[6] En un artículo de 1975 de April Fool en la revista Scientific American,[7] el columnista de la sección "Juegos matemáticos" Martin Gardner hizo la falsa afirmación de que el número era en realidad un número entero, y que el genio matemático indio Srinivasa Ramanujanlo había predicho, y de ahí su nombre.
Esta coincidencia se explica por la multiplicación compleja y la expansión q del j-invariante.
es un entero cuando d es un número de Heegner, y
a través de la q- expansión.
es un irracional cuadrático, entonces el j- invariante es un entero algebraico de grado
y el polinomio mínimo (entero mónico) que lo satisface se llama 'polinomio de clase de Hilbert'.
q = exp ( 2 π i τ )
, j está muy bien aproximado por sus dos primeros términos.
donde el término lineal del error es explicando por qué
está tan aproximadamente cercano a ser un número entero.
Para fórmulas similares, véase la serie de Ramanujan-Sato.
Para los cuatro números más grandes de Heegner, las aproximaciones que se obtienen[8] son las siguientes.
, no se obtiene un número casi entero; incluso
Los enteros j- invariantes son altamente factorizables, lo que se deduce de
, forma y factor como Estos números trascendentales, además de estar estrechamente aproximados por enteros (que son simplemente números algebraicos de grado 1), se pueden aproximar estrechamente por números algebraicos de grado 3,[10] Las raíces de los polinomios de tercer grado se pueden dar exactamente por cocientes de la función eta de Dedekind η(τ), una función modular que implica una raíz 24 y que explica la aparición del número 24 en la aproximación.
También se pueden aproximar estrechamente por números algebraicos de grado 4,[11] Si
), satisface respectivamente las ecuaciones cuárticas Téngase en cuenta la reaparición de los enteros
Estas ecuaciones séxticas no solo son algebraicas, sino que también se pueden resolver en radicales, ya que se convierten en dos cúbicas sobre la extensión
(con la primera factorización adicional en dos polinomios cuadráticos).
, entonces donde los cocientes eta son los números algebraicos dados anteriormente.
), se obtienen compuestos consecutivos, seguidos de números primos consecutivos, si y solo si p es un número de Heegner.
[12] Para más detalles, consúltese "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" (Polinomios Cuadráticos que Producen Primos Distintos Consecutivos y Grupos de Clase de Cuerpos Cuadráticos Complejos), de Richard Mollin.