empleando formas modulares de niveles superiores.
Ramanujan hizo el enigmático comentario de que había "teorías correspondientes", pero solo mucho después H. H. Chan y S. Cooper han encontrado un enfoque general que utilizaba el subgrupo de congruencia modular subyacente
La notación jn(t) se deriva de Zagier[10] y Tn se refiere a la serie relevante de McKay-Thompson.
Ramanujan dio ejemplos para los niveles del 1 al 4 en su artículo de 1917.
Téngase en cuenta que, como notó por primera vez J. McKay, el coeficiente del término lineal de j(t) es casi igual a
, que es el grado de la representación irreducible no trivial más pequeña del grupo monstruo.
Fenómenos similares se observarán en los otros niveles.
Sea Entonces las dos funciones y secuencias modulares están relacionadas por si la serie converge y el signo se elige apropiadamente, aunque cuadrar ambos lados elimina fácilmente la ambigüedad.
, que es el grado más pequeño > 1 de las representaciones irreducibles del grupo Baby Monster.
Sea Entonces si la serie converge y el signo se elige adecuadamente.
Ejemplos: La primera fórmula, encontrada por Ramanujan y mencionada al comienzo del artículo, pertenece a una familia probada por D. Bailey y los hermanos Borwein en un artículo de 1989.
Y además Ejemplos: y, donde el primero es el producto de los coeficientes binomiales centrales y los números de Apéry (sucesión A005258 en OEIS)[9] Ejemplos: En 2002, Sato[7] estableció los primeros resultados para el nivel > 4.
Primero, defínase J. Conway y S. Norton demostraron que existen relaciones lineales entre la serie McKay-Thompson Tn,[14] una de las cuales era o usando los cocientes eta anteriores jn, Para la función modular j6A, se puede asociar con tres secuencias diferentes (una situación similar ocurre para la función de nivel 10j10A).
Sea Las tres secuencias involucran el producto de los coeficientes binomiales centrales.
Las funciones modulares pueden relacionarse como si la serie converge y el signo se elige adecuadamente.
, entonces tanto como aunque las fórmulas que usan los complementos aparentemente todavía no tienen una prueba rigurosa.
Para las otras funciones modulares Sea y Ejemplo: Aún no se ha encontrado ninguna fórmula pi usando j7B.
La cuarta también es la raíz cuadrada de otra función.
Sea donde el primero es el producto[2] del coeficiente binomial central y una secuencia relacionada con una media aritmético-geométrica (sucesión A081085 en OEIS), Ejemplos: aunque todavía no se conoce la fórmula pi usando j8A(t).
Sea donde el primero es el producto de los coeficientes binomiales centrales y (sucesión A006077 en OEIS) (aunque con diferentes signos).
Ejemplos: Sea Al igual que el nivel 6, también existen relaciones lineales, como o usando los cocientes eta anteriores jn, Sea sus complementos y, aunque aún no se conocen formas cerradas para las últimas tres secuencias.
Las funciones modulares se pueden relacionar como[15] si la serie converge.
De hecho, también se puede observar que Dado que el exponente tiene una parte fraccional, el signo de la raíz cuadrada debe elegirse adecuadamente, aunque es un problema más sencillo cuando jn es positivo.
, entonces tanto como aunque los que usan los complementos aún no tienen una prueba rigurosa.
Ejemplo:[16] Como señaló Cooper,[16] hay secuencias análogas para ciertos niveles superiores.
R. Steiner encontró ejemplos usando los números de Catalan
para los que existe una forma modular con un segundo periódico para k