Producto de Wallis

En matemáticas, se conoce como producto de Wallis una expresión utilizada para representar el valor de π que fue descubierta por John Wallis en 1655 y que establece que:

Antes que nada se debe considerar que las raíces de sen(x)/x son ±nπ, donde n = 1, 2, 3....

Entonces, se puede expresar el seno como un producto infinito de factores lineales de sus raíces:

sen ⁡ ( x )

x

x π

x π

x

x

x

x

{\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \qquad \ {\textrm {donde}}~k~{\textrm {es~una~constante}}}

Para encontrar la constante k, se toma el límite en ambos lados:

x → 0

sen ⁡ ( x )

x π

x π

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}\left(k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \right)=k}

Sabiendo que:

sen ⁡ ( x )

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=1}

Se hace k=1.

Obtenemos la fórmula de Euler-Wallis para el seno:

sen ⁡ ( x )

x π

x π

{\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots }

sen ⁡ ( x )

{\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots }

Haciendo x=π/2, se obtiene: