Extensión analítica

Una extensión analítica por lo general tiene éxito en definir valores adicionales de la función, por ejemplo en una región nueva en la que una representación mediante series infinitas con la que se había definido inicialmente a la función era divergente.La técnica de extensión por pasos puede sin embargo encontrar algunas dificultades.O bien pueden relacionarse con la presencia de singularidades matemáticas.Supongamos que f es una función analítica definida en un subconjunto abierto U del plano complejo C. Si V es un subconjunto abierto de C, que contiene a U, y F es una función analítica definida en V tal que entonces F se denomina extensión analítica de f. En otras palabras, la restricción de F a U es la función f con la que se comenzó.Esto se debe a que la diferencia es una función analítica que se anula en un conjunto abierto U (el dominio de f), y una función analítica que se anula en un abierto debe anularse en todo su dominio (suponiendo que el dominio es conexo) y por lo tanto debe ser cero.tal que no se pueda definir en z una extensión analítica de la serie.Por otra parte bien puede existir una extensión analítica a algunos conjuntos más grandes.Ello dependerá del radio de convergencia cuando se expande desde puntos b distintos de a; si este es mayor que entonces es posible utilizar la expansión en un disco abierto, parte del cual se encuentra fuera del disco original de la definición.Si no es así, entonces existe una frontera natural en el círculo comprendido.Una forma usual de definir funciones en análisis complejo es primero especificando la función en un dominio pequeño, y luego extenderla mediante extensión analítica.Notar también que sería equivalente comenzar con una función analítica definida en un conjunto abierto pequeño.Por lo tanto, es posible referirse del conjunto de gérmenesTal serie de potencias define una función lagunar.tal que posee un disco de convergencia f en torno a z0 como frontera natural.