Coálgebra

Toda coálgebra, por dualidad, da lugar a un álgebra, pero el recíproco no es cierto en general.En dimensión finita, la relación sí se cumple siempre en ambos sentidos.Existen también F-coálgebras, con importantes aplicaciones en ciencias de la computación.El segundo, es el dual del que expresa la existencia de una identidad multiplicativa.Definimos Por linealidad, tanto Δ como ε pueden extenderse de forma única a todo C. El espacio vectorial C se convierte así en una coálgebra con comultiplicación Δ y counidad ε.De esta forma K[X] es tanto un álgebra asociativa unitaria como una coálgebra, y las dos estructuras son compatibles.Los objetos como este se llaman biálgebras, y de hecho muchas de las coálgebras importantes que se consideran en la práctica son biálgebras.La homología singular de un espacio topológico forma una coálgebra graduada siempre que se cumpla el isomorfismo de Künneth, por ejemplo si los coeficientes se toman sobre un cuerpo.En general, el dual de un álgebra no tiene por qué ser una coálgebra.Al trabajar con coálgebras, una cierta notación para la comultiplicación simplifica las fórmulas considerablemente y es bastante popular.Una coálgebra (C, Δ, ε) se dice coconmutativa siLos teoremas de isomorfía habituales son válidos para coálgebras, de forma que por ejemplo C1/ker(f) es isomorfo a im(f).Así, en el caso de dimensión finita, las teorías de álgebras y coálgebras son duales; estudiar una es equivalente a estudiar la otra.